Dimostrare che due basi hanno la stessa cardinalità
Mi servirebbe una mano per dimostrare il teorema della dimensione per spazi vettoriali, secondo cui due basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ossia sono formate dallo stesso numero di elementi.
Sia uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo
. Dimostrare che due basi distinte di
hanno la stessa cardinalità.
Prima di riportare la dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali, e quindi provare che due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ricordiamo cos'è una base di uno spazio vettoriale e dimostriamo un lemma preliminare, che faciliterà notevolmente la dimostrazione del teorema.
Definizione di base di uno spazio vettoriale
Sia uno spazio vettoriale su un campo
e siano
vettori di
.
L'insieme è una base di
se e solo se:
(1) è un sistema di generatori di
;
(2) i vettori sono linearmente indipendenti tra loro.
Lemma preliminare al teorema della dimensione per spazi vettoriali
Una base di uno spazio vettoriale
finitamente generato su un campo
è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, cioè ogni insieme contenente più di
vettori di
è linearmente dipendente.
Dimostrazione
Assumiamo come ipotesi che sia una base di
e proviamo che
è un insieme massimale di vettori indipendenti.
Procediamo per assurdo e supponiamo che non sia massimale. Allora esiste
, tale che
è linearmente indipendente.
Poiché è una base di
, l'insieme
è un sistema di generatori di
. Dal momento che
, tale vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di
, cioè esistono
tali che
Dalla relazione precedente segue che è linearmente dipendente e siamo così pervenuti a un assurdo, nato dall'aver supposto che
non sia un insieme massimale di vettori indipendenti.
Dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali
Siano e
due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale
.
Dobbiamo dimostrare che tali base hanno la stessa cardinalità, cioè che .
Se, per assurdo, fosse , poiché
è una base di
, per il lemma precedente i vettori di
sarebbero linearmente dipendenti, e ciò è impossibile dato che
è una base.
La stessa contraddizione si otterrebbe se supponessimo , dunque deve necessariamente essere
, il che prova il teorema.
Abbiamo concluso!
Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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