Soluzioni
  • Prima di riportare la dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali, e quindi provare che due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ricordiamo cos'è una base di uno spazio vettoriale e dimostriamo un lemma preliminare, che faciliterà notevolmente la dimostrazione del teorema.

    Definizione di base di uno spazio vettoriale

    Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano v_1, v_2, ..., v_n vettori di V.

    L'insieme mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n è una base di V se e solo se:

    (1) v_1, v_2, ..., v_n è un sistema di generatori di V;

    (2) i vettori v_1, v_2, ..., v_n sono linearmente indipendenti tra loro.

    Lemma preliminare al teorema della dimensione per spazi vettoriali

    Una base mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n di uno spazio vettoriale V finitamente generato su un campo K è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, cioè ogni insieme contenente più di n vettori di V è linearmente dipendente.

    Dimostrazione

    Assumiamo come ipotesi che mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n sia una base di V e proviamo che v_1, v_2, ..., v_n è un insieme massimale di vettori indipendenti.

    Procediamo per assurdo e supponiamo che v_1, v_2, ..., v_n non sia massimale. Allora esiste v_(n+1) ∈ V, v_(n+1) ≠ 0, tale che v_1, v_2, ..., v_n, v_(n+1) è linearmente indipendente.

    Poiché mathcalB è una base di V, l'insieme v_1, v_2, ..., v_n è un sistema di generatori di V. Dal momento che v_(n+1) ∈ V, tale vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di mathcalB, cioè esistono a_1, a_2, ..., a_n ∈ K tali che

    v_(n+1) = a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n

    Dalla relazione precedente segue che v_1, v_2, ..., v_n, v_(n+1) è linearmente dipendente e siamo così pervenuti a un assurdo, nato dall'aver supposto che mathcalB non sia un insieme massimale di vettori indipendenti.

    Dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali

    Siano mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n e mathcalB'= w_1, w_2, ..., w_m due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale V.

    Dobbiamo dimostrare che tali base hanno la stessa cardinalità, cioè che m = n.

    Se, per assurdo, fosse m > n, poiché mathcalB è una base di V, per il lemma precedente i vettori di mathcalB' sarebbero linearmente dipendenti, e ciò è impossibile dato che mathcalB' è una base.

    La stessa contraddizione si otterrebbe se supponessimo n > m, dunque deve necessariamente essere m = n, il che prova il teorema.

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare