Soluzioni
  • Prima di riportare la dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali, e quindi provare che due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ricordiamo cos'è una base di uno spazio vettoriale e dimostriamo un lemma preliminare, che faciliterà notevolmente la dimostrazione del teorema.

    Definizione di base di uno spazio vettoriale

    Sia V uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K} e siano \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n vettori di V.

    L'insieme \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V se e solo se:

    (1) \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è un sistema di generatori di V;

    (2) i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n sono linearmente indipendenti tra loro.

    Lemma preliminare al teorema della dimensione per spazi vettoriali

    Una base \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} di uno spazio vettoriale V finitamente generato su un campo \mathbb{K} è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, cioè ogni insieme contenente più di n vettori di V è linearmente dipendente.

    Dimostrazione

    Assumiamo come ipotesi che \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} sia una base di V e proviamo che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è un insieme massimale di vettori indipendenti.

    Procediamo per assurdo e supponiamo che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} non sia massimale. Allora esiste \mathbf{v}_{n+1} \in V, \ \mathbf{v}_{n+1} \neq \mathbf{0}, tale che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}\} è linearmente indipendente.

    Poiché \mathcal{B} è una base di V, l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è un sistema di generatori di V. Dal momento che \mathbf{v}_{n+1} \in V, tale vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di \mathcal{B}, cioè esistono a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K} tali che

    \mathbf{v}_{n+1}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

    Dalla relazione precedente segue che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_{n+1}\} è linearmente dipendente e siamo così pervenuti a un assurdo, nato dall'aver supposto che \mathcal{B} non sia un insieme massimale di vettori indipendenti.

    Dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali

    Siano \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} e \mathcal{B}'=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_m\} due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale V.

    Dobbiamo dimostrare che tali base hanno la stessa cardinalità, cioè che m=n.

    Se, per assurdo, fosse m>n, poiché \mathcal{B} è una base di V, per il lemma precedente i vettori di \mathcal{B}' sarebbero linearmente dipendenti, e ciò è impossibile dato che \mathcal{B}' è una base.

    La stessa contraddizione si otterrebbe se supponessimo n>m, dunque deve necessariamente essere m=n, il che prova il teorema.

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Galois
 
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