Prima di riportare la dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali, e quindi provare che due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ricordiamo cos'è una base di uno spazio vettoriale e dimostriamo un lemma preliminare, che faciliterà notevolmente la dimostrazione del teorema.
Definizione di base di uno spazio vettoriale
Sia
uno spazio vettoriale su un campo
e siano
vettori di
.
L'insieme
è una base di
se e solo se:
(1)
è un sistema di generatori di
;
(2) i vettori
sono linearmente indipendenti tra loro.
Lemma preliminare al teorema della dimensione per spazi vettoriali
Una base
di uno spazio vettoriale
finitamente generato su un campo
è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, cioè ogni insieme contenente più di
vettori di
è linearmente dipendente.
Dimostrazione
Assumiamo come ipotesi che
sia una base di
e proviamo che
è un insieme massimale di vettori indipendenti.
Procediamo per assurdo e supponiamo che
non sia massimale. Allora esiste
, tale che
è linearmente indipendente.
Poiché
è una base di
, l'insieme
è un sistema di generatori di
. Dal momento che
, tale vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di
, cioè esistono
tali che
Dalla relazione precedente segue che
è linearmente dipendente e siamo così pervenuti a un assurdo, nato dall'aver supposto che
non sia un insieme massimale di vettori indipendenti.
Dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali
Siano
e
due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale
.
Dobbiamo dimostrare che tali base hanno la stessa cardinalità, cioè che
.
Se, per assurdo, fosse
, poiché
è una base di
, per il lemma precedente i vettori di
sarebbero linearmente dipendenti, e ciò è impossibile dato che
è una base.
La stessa contraddizione si otterrebbe se supponessimo
, dunque deve necessariamente essere
, il che prova il teorema.
Abbiamo concluso!
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