Dimostrare che due basi hanno la stessa cardinalità

Mi servirebbe una mano per dimostrare il teorema della dimensione per spazi vettoriali, secondo cui due basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ossia sono formate dallo stesso numero di elementi.

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K. Dimostrare che due basi distinte di V hanno la stessa cardinalità.

Domanda di submarcos90
Soluzione

Prima di riportare la dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali, e quindi provare che due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ricordiamo cos'è una base di uno spazio vettoriale e dimostriamo un lemma preliminare, che faciliterà notevolmente la dimostrazione del teorema.

Definizione di base di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e siano v_1, v_2, ..., v_n vettori di V.

L'insieme mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n è una base di V se e solo se:

(1) v_1, v_2, ..., v_n è un sistema di generatori di V;

(2) i vettori v_1, v_2, ..., v_n sono linearmente indipendenti tra loro.

Lemma preliminare al teorema della dimensione per spazi vettoriali

Una base mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n di uno spazio vettoriale V finitamente generato su un campo K è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, cioè ogni insieme contenente più di n vettori di V è linearmente dipendente.

Dimostrazione

Assumiamo come ipotesi che mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n sia una base di V e proviamo che v_1, v_2, ..., v_n è un insieme massimale di vettori indipendenti.

Procediamo per assurdo e supponiamo che v_1, v_2, ..., v_n non sia massimale. Allora esiste v_(n+1) ∈ V, v_(n+1) ≠ 0, tale che v_1, v_2, ..., v_n, v_(n+1) è linearmente indipendente.

Poiché mathcalB è una base di V, l'insieme v_1, v_2, ..., v_n è un sistema di generatori di V. Dal momento che v_(n+1) ∈ V, tale vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di mathcalB, cioè esistono a_1, a_2, ..., a_n ∈ K tali che

v_(n+1) = a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n

Dalla relazione precedente segue che v_1, v_2, ..., v_n, v_(n+1) è linearmente dipendente e siamo così pervenuti a un assurdo, nato dall'aver supposto che mathcalB non sia un insieme massimale di vettori indipendenti.

Dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali

Siano mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n e mathcalB'= w_1, w_2, ..., w_m due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale V.

Dobbiamo dimostrare che tali base hanno la stessa cardinalità, cioè che m = n.

Se, per assurdo, fosse m > n, poiché mathcalB è una base di V, per il lemma precedente i vettori di mathcalB' sarebbero linearmente dipendenti, e ciò è impossibile dato che mathcalB' è una base.

La stessa contraddizione si otterrebbe se supponessimo n > m, dunque deve necessariamente essere m = n, il che prova il teorema.

Abbiamo concluso!

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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