Dimostrare che due basi hanno la stessa cardinalità

Prima di riportare la dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali, e quindi provare che due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ricordiamo cos'è una base di uno spazio vettoriale e dimostriamo un lemma preliminare, che faciliterà notevolmente la dimostrazione del teorema.

Definizione di base di uno spazio vettoriale

Sia uno spazio vettoriale su un campo e siano vettori di .

L'insieme è una base di se e solo se:

(1) è un sistema di generatori di ;

(2) i vettori sono linearmente indipendenti tra loro.

Lemma preliminare al teorema della dimensione per spazi vettoriali

Una base di uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, cioè ogni insieme contenente più di vettori di è linearmente dipendente.

Dimostrazione

Assumiamo come ipotesi che sia una base di e proviamo che è un insieme massimale di vettori indipendenti.

Procediamo per assurdo e supponiamo che non sia massimale. Allora esiste , tale che è linearmente indipendente.

Poiché è una base di , l'insieme è un sistema di generatori di . Dal momento che , tale vettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di , cioè esistono tali che

Dalla relazione precedente segue che è linearmente dipendente e siamo così pervenuti a un assurdo, nato dall'aver supposto che non sia un insieme massimale di vettori indipendenti.

Dimostrazione del teorema della dimensione per spazi vettoriali

Siano e due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale .

Dobbiamo dimostrare che tali base hanno la stessa cardinalità, cioè che .

Se, per assurdo, fosse , poiché è una base di , per il lemma precedente i vettori di sarebbero linearmente dipendenti, e ciò è impossibile dato che è una base.

La stessa contraddizione si otterrebbe se supponessimo , dunque deve necessariamente essere , il che prova il teorema.

Abbiamo concluso!