Soluzioni
  • Premetto che nella risoluzione di questo esercizio dovremo fare abbondante uso del simbolo di equivalenza asintotica.

    Dato che ci interessa determinare una stima asintotica per la funzione

    f(x)=\frac{((1-\cos(x))}{\log(1+x^2)\cdot (e^{\sqrt{x}}-1)}

    al tendere di x\to +\infty, osserviamo che 

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{\log{(1+x^2)}}{\log{(x^2)}}}=1

    poiché qui le costanti additive non hanno alcuna rilevanza sull'ordine di infinito. Quindi le due funzioni sono asintoticamente equivalenti e possiamo scrivere

    \log{(1+x^2)}\sim_{x\to +\infty} \log{(x^2)}

    Inoltre, con un ragionamento analogo

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{\sqrt{x}}-1}{e^{\sqrt{x}}}=1

    da cui

    e^{\sqrt{x}}-1\sim_{x\to +\infty} e^{\sqrt{x}}

    In sintesi

    \frac{(1-\cos(x)}{\log(1+x^2)\cdot (e^{\sqrt{x}}-1)}\sim_{x\to +\infty}\frac{1-\cos{(x)}}{\log{(x^2)}e^{\sqrt{x}}}

    La situazione sarebbe stata molto diversa se avessimo avuto x\to 0, nel qual caso per le equivalenze asintotiche avremmo potuto fare riferimento ai limiti notevoli di coseno, logaritmo ed esponenziale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma dato che e^(sqrt(x))\to+\infty non lo possiamo sostituire con \sqrt{x} semplicemente?

    E dato che \cos(x) in \infty va da -1 a 1 non possiamo mettere al denominatore semplicemente 1.

    Risposta di latorre7
  • Attenzione: :)

    - non è vero che il coseno in x=\infty vale 1. C'è un doppio errore: il primo è che non si può valutare una funzione in +\infty (non è un numero reale); il secondo, che il limite del \cos{(x)} al tendere di x\to +\infty esista. Non esiste: il coseno è una funzione periodica.

    - E' sbagliato dire che al tendere di x\to +\infty e^{\sqrt{x}} e \sqrt{x} sono asintoticamente equivalenti: il comportamento dell'esponenziale e della radice è molto diverso, in particolare che entrambe abbiano limite infinito è vero, ma non divergono all'infinito secondo lo stesso ordine.

    Ti suggerisco di leggere la lezione sugli ordini di infinito che ho linkato in precedenza. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ho capito Omega, e ti ringrazio molto! :)

    Risposta di latorre7
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