Equivalenza asintotica di una funzione all'infinito

Premetto che nella risoluzione di questo esercizio dovremo fare abbondante uso del simbolo di equivalenza asintotica.

Dato che ci interessa determinare una stima asintotica per la funzione

al tendere di , osserviamo che 

poiché qui le costanti additive non hanno alcuna rilevanza sull'ordine di infinito. Quindi le due funzioni sono asintoticamente equivalenti e possiamo scrivere

Inoltre, con un ragionamento analogo

da cui

In sintesi

La situazione sarebbe stata molto diversa se avessimo avuto , nel qual caso per le equivalenze asintotiche avremmo potuto fare riferimento ai limiti notevoli di coseno, logaritmo ed esponenziale.

Namasté!

Attenzione: :)

- non è vero che il coseno in vale 1. C'è un doppio errore: il primo è che non si può valutare una funzione in (non è un numero reale); il secondo, che il limite del al tendere di esista. Non esiste: il coseno è una funzione periodica.

- E' sbagliato dire che al tendere di e sono asintoticamente equivalenti: il comportamento dell'esponenziale e della radice è molto diverso, in particolare che entrambe abbiano limite infinito è vero, ma non divergono all'infinito secondo lo stesso ordine.

Ti suggerisco di leggere la lezione sugli ordini di infinito che ho linkato in precedenza. ;)

Namasté!