Esercizio con endomorfismo diagonalizzabile definito per immagini

Consideriamo l'applicazione lineare definita con le immagini:

Il primo punto del problema ci chiede di determinare il numero reale in modo che sia soddisfatta la terza uguaglianza. Per farlo, partiamo con alcune considerazioni di carattere squisitamente teorico.

I vettori preimmagine:

costituiscono una base per , infatti se li disponiamo per colonne, ricaviamo la matrice:

il cui determinante è non nullo, pertanto il suo rango di è 3, così come è 3 il numero di colonne linearmente indipendenti.

In definitiva:

è una base di , di conseguenza le loro immagini mediante costituiscono un sistema di generatori per l'immagine dell'applicazione lineare, vale a dire:

Si noti che il vettore nullo è del tutto inutile, perché non genera nulla, se non se stesso.

Poiché i vettori immagine

non sono multipli tra loro, essi sono linearmente indipendenti e costituiscono, quindi, una base per l'immagine di

Nota una base, possiamo calcolare la dimensione dell'immagine dell'applicazione: basta contare gli elementi che costituiscono e scrivere che:

A questo punto, grazie al teorema delle dimensioni possiamo calcolare la dimensione del nucleo dell'applicazione:

da cui deduciamo che la dimensione del nucleo di è 1.

In accordo con la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale, ogni base del nucleo sarà formata da un solo vettore.

Dalla traccia sappiamo che , per cui è un vettore nel nucleo:

Di più! Esso costituisce una base del nucleo.

Dopo questo preambolo che ci ha permesso di determinare una base del kernel, possiamo determinare il numero reale tale che

Per prima cosa portiamo tutto al primo membro

e sfruttiamo l'additività dell'applicazione lineare

L'ultima relazione si traduce nella seguente richiesta: per quali valori di il vettore appartiene al nucleo dell'applicazione? Se rispondiamo a questa domanda, abbiamo ricavato .

Ora se e solo se è combinazione lineare degli elementi della base scelta, ossia se e solo se esiste uno scalare tale che:

ossia

Uguagliando ordinatamente le componenti, ricaviamo le equazioni che compongono il seguente sistema

Risolviamolo con il metodo di sostituzione. Dalla seconda relazione si ottiene facilmente che e rimpiazzando questo valore nelle altre equazioni scopriamo che:

In definitiva, il valore da attribuire ad affinché sussista l'uguaglianza

è .

Studio della diagonalizzabilità di

Per stabilire se è un endomorfismo diagonalizzabile, abbiamo bisogno della matrice associata rispetto a due basi fissate.

Come base del dominio di possiamo scegliere la seguente:

mentre come base dello spazio di arrivo scegliamo la base canonica di :

La matrice associata a rispetto alle basi è quella matrice che ha per colonne le coordinate rispetto alla base d'arrivo delle immagini secondo dei vettori della base di partenza.

Proprio perché la base di arrivo è quella canonica, basterà disporre in colonna le immagini mediante dei vettori

che sono:

Otteniamo, così, la seguente matrice:

Se è una matrice diagonalizzabile su , lo sarà anche e viceversa.

Determiniamo il polinomio caratteristico definito come il determinante della matrice , dove è la matrice identità di ordine 3.

Usando lo sviluppo di Laplace sull'ultima colonna, ricaviamo immediatamente che il determinante è:

Calcoliamo le radici reali del polinomio caratteristico, che rappresentano gli autovalori della matrice :

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il polinomio è nullo se e solo se

da cui .

Si noti che l'equazione di secondo grado

non ha soluzioni reali, infatti il discriminante è minore di zero.

La matrice ha un solo autovalore con molteplicità algebrica 1, di conseguenza non può essere diagonalizzabile per via del teorema di diagonalizzabilità: viene meno l'ipotesi secondo cui il numero di autovalori della matrice, contati con la loro molteplicità, dev'essere uguale all'ordine della matrice.

Poiché non è diagonalizzabile, non lo sarà nemmeno l'endomorfismo , e ciò conclude l'esercizio.