Soluzioni
  • siano a un numero reale ed ƒ: R^3 in R^3 un'applicazione tale che

    ƒ\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}=\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}

    ƒ\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}=\begin{matrix}-1\\-1\\-1\end{matrix}

    ƒ\begin{matrix}2\\2\\0\end{matrix}=Æ\begin{matrix}a\\4\\3\end{matrix}

    ƒ\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}=\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}.

    Supposto che ƒ sia endomorfismo di R^3, determinare a e dire se ƒ è diagonalizzabile

    come faccio a determinare a??

    graditissima spiegazione grazie in anticipo

    Risposta di screative
  • Ciao screative, provo a rispondere :P

    Risposta di Ifrit
  • siano a un numero reale ed ƒ: R^3 in R^3 un'applicazione tale che

    ƒ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right]

    ƒ \left[\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1\\-1\\-1\end{matrix}\right]

    ƒ\left[\begin{matrix}2\\2\\0\end{matrix}\right]=f\left[\begin{matrix}a\\4\\3\end{matrix}\right]

    ƒ\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right].

    Supposto che ƒ sia endomorfismo di R^3, determinare a e dire se ƒ è diagonalizzabile

    come faccio a determinare a??

    graditissima spiegazione grazie in anticipo

    Ps mi scuso per i post precedenti
    Risposta di screative
  • Guarda screative ho provato a svolgerlo, con le classiche tecniche, ma non mi riesce :|. Ti spiace se spostiamo la domanda nel forum, l'esercizio richiede qualche conto in più che in questo momento non posso svolgere.

     

    L'idea comunque è la seguente:

    Tramite i vettori che appartengono all''insieme di partenza, ti costruisci la base di \mathbb{R}^3.

    Calcoli l'immagine tramite f dei vettori ottenuti sfruttando la linearità della applicazione, in questo modo determinerai la matrice associata all'applicazione. A questo punto valuti l'applicazione f nel vettore (1, 2, 3) e imponi l'uguaglianza con (0,0, 0) otterrai un sistema che però non mi è riuscito :(

    Risposta di Ifrit
  • ad essere sincero ho capito ben poco... potresti essere più preciso ovviamente puoi evitare i calcoli

    Risposta di screative
  • Allora devi prendere i vettori (li scrivo in riga, ma sono colonne!!):

    v_1=\left(1,1,1\right)^T

    v_2= \left(0, 1,1\right)^T

    v_3= \left(2,2,0\right)^T

    v_4= \left(1, 2, 3\right)

     

    A questo punto osserva che:

    e_1= v_1-v_2

    e_2=-v_1+v_2+\frac{1}{2}v_3

    e_3= v_1-\frac{1}{2}v_3

    In questo modo hai espresso la base canonica dello spazio di partenza come cominazione dei vettori noti. La matrice associata si otterrà semplicemente valutando la funzione sulla base e applicando la linearità dell'endomorfismo:

    f(e_1)= f(v_1)-f(v_2)

    f(e_2)= -f(v_1)+f(v_2)+\frac{1}{2}f(v_3)

    f(e_3)= f(v_1)-\frac{1}{2}f(v_2)

    Otterrai vettori colonna, che mettendoli in una matrice avrai la matrice che rappresenta l'applicazione lineare M_f.

    A questo punto è sufficiente moltiplicare la matrice ottenuta per il vettore colonna (1,2,3)^T e imporre che sia uguale al vettore (0, 0, 0)

    La matrice M_f dipende dal parametro a che può essere calcolato risolvendo il sistema. Il problema è che i conti sono lunghi :|

     

    Una volta ottenuto il parametro a puoi procedere in modo canonico per capire se è diagonalizzabile o meno :)

    Risposta di Ifrit
  • inanzitutto grazie per la tua disponibilità

    premettendo che io mi spiego malissimo

    ma il parametro a non appartiene all'immagine di f o sbaglio?  

    ƒleft[begin{matrix}22�end{matrix}right]=fleft[begin{matrix}a43end{matrix}right]

    non

    ƒ\left[\begin{matrix}2\\2\\0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a\\4\\3\end{matrix}\right]

    sbaglio o non c'entra nulla?

    Risposta di screative
  • ho provato a seguire il procedimento da te indicato ma temo ci sia un errore visto che i risultati non cambaciano

    Risposta di screative
  • Ecco perché non mi veniva!!! C'è stato un misunderstanding x| Non mi sono accorto di quella maledetta f. Che rabbia!!

    Ricomincio da capo con più calma :)

    Siano:

    v_1=(1, 1, 1)^T

    v_2= (0, 1, 1)^T

    v_3= (2,2, 0)^T

    v_4=(1, 2, 3)^T

    I vettori di cui conosciamo l'immagine esplicita sono v_1,. v_2, v_4

    Determiniamo ora \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}\mbox{ con } i\in {1, 2, 3} reali tali che:

    \alpha_1 v_1+\beta_1 v_2+\gamma_1 v_4= e_1= (1, 0, 0)^T

    \alpha_2 v_1+\beta_2 v_2+\gamma_2 v_4= e_2= (0, 1, 0)^T

    \alpha_3 v_1+\beta_3 v_2+\gamma_3 v_4= e_3= (0, 0, 1)^T

     

    Iniziamo con il primo:

    \alpha_1 (1, 1, 1)^T+ \beta_1 (0,1, 1)^T+\gamma_1 (1, 2, 3)^T = (1, 0, 0)^T

    otteniamo il sistema:

    \begin{cases}\alpha_1+\gamma_1=1\\ \alpha_1+\beta_1+2\gamma_1= 0\\ \alpha_1+\beta_1+3\gamma_1= 0\end{cases}

     

    Risolvendo il sistema otterrai la tripla: \alpha_1=1, \beta_1= -1, \gamma_1=0

    Quindi:

    e_1= v_1-v_2 (si vedeva pure ad occhio ;) )

    Procediamo con la seconda, con lo stesso ragionamento otteniamo:

    \begin{cases}\alpha_2+\gamma_2=0\\ \alpha_2+\beta_2+2\gamma_2= 1\\ \alpha_2+\beta_2+3\gamma_2= 0\end{cases}

     

    Risolvendo il sistema avrai la tripla  

    \alpha_2=1, \beta_2= 2, \gamma_2=-1

    quindi 

    e_2= v_1+2v_2-v_4

     

    Infine con la terza:

    \begin{cases}\alpha_3+\gamma_3=0\\ \alpha_3+\beta_3+2\gamma_3= 0\\ \alpha_3+\beta_3+3\gamma_3= 1\end{cases}

    Da cui otteniamo la tripla:

    \alpha_3= -1, \beta_3= -1, \gamma_3= 1

    Dunque:

    e_3= -v_1-v_2+v_4

     

    Calcoliamo l'immagine di e_1, e_2, e_3 utilizzando la linearità dell'operatore:

    f(e_1)= f(v_1-v_2)= f(v_1)-f(v_2)= (0,1,1)^T-(-1,-1,-1)^T= (1, 2,2)^T

    f(e_2)= f(v_1+2v_2-v_4)= f(v_1)+2f(v_2)-f(v_4)=(0, 1, 1)^T+2(-1,-1,-1)^T=

    =(-2, -1, -1)^T

    f(e_3)= f(-v_1-v_2+v_4)= -f(v_1)-f(v_2)+f(v_4)=(1, 0, 0)^T

    La matrice associata alla applicazione ha per colonne l'immagine dei vettori della base canonica:

    M_f= \begin{pmatrix}1&-2&1\\ 2&-1&0\\ 2&-1&0\end{pmatrix}

     

    A questo punto troviamo l'immagine del vettore v_3= (2,2, 0)^T

    f(v_3)=\begin{pmatrix}1&-2&1\\ 2&-1&0\\ 2&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 2\end{pmatrix}

    Mentre:

    f\begin{pmatrix}a\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\ 2&-1&0\\ 2&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\ 4\\ 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a-5\\ 2a-4\\ 2a-4\end{pmatrix}

     

    Ora imponendo l'uguaglianza:

    f(v_3)=f\begin{pmatrix}a\\4\\3\end{pmatrix}

    Otteniamo:

    \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-5\\ 2a-4\\ 2a-4\end{pmatrix}

     

    Da cui si evince che a=3

    Per quanto riguarda la diagonalizzazione.

    Considera la matrice M_f-\lambda I e ponilo uguale a zero:

    \det(M_f-\lambda I)= -\lambda -\lambda^3=0\iff \lambda_1= 0, \lambda_2= -i , \lambda_3=i

    Se non ho sbagliato i conti, la matrice non è diagonalizzabile perché ha un solo autovalore reale.

    Risposta di Ifrit
  • perfetto grazie mille

    Risposta di screative
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