Soluzioni
  • Ciao lorenzo arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • f(x)= |x^2-3|

    •Affinché la funzione rispetti il teorema di Weiestrass, la funzione deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato. In questo caso abbiamo che la funzione è continua perché composizione di funzioni continue. Il teorema di Weierstrass è quindi utilizzabile in un qualsiasi intervallo chiuso e limitato, cioè del tipo [a, b] con a, b\in \mathbb{R} finiti.

    • Affinché rispetti il teorema di Lagrange, la funzione f deve essere continua in un intervallo del tipo [a, b] e derivabile nell'intervallo apert ]a, b[

    La funzione in questione è continua in tutto l'asse reale, quindi non avremmo problemi, in realtà però i problemi sorgono per la derivabilità. 

    f(x)= |x^2-3|

    non è derivabile nei punti per i quali il valore assoluto si annulla:

    x^2-3=0\iff x=\pm \sqrt{3}

    Dobbiamo quindi scegliere intervalli [a, b] di modo che \pm \sqrt{3}\notin ]a, b[.

    Un esempio potrebbe essere [-\sqrt{3}, \sqrt{3}], infatti \pm\sqrt{3}\notin ]-\sqrt{3}, \sqrt{3}[

    • Il teorema di Rolle pretende che la funzione sia:

    - continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. La nostra funzione rispetta questa condizione

    - derivabile nell'intervallo aperto ]a, b[. Qui sorgono gli stessi problemi che abbiamo riscontrato nel punto precedente. La funzione non è derivabile in intervalli che hanno i valori \pm\sqrt{3}

    - tale che f(a)= f(b). Questa condizione non è difficile da determinare. Nota infatto che la funzione è simmetrica rispetto all'asse Y, ciò implica che 

    f(-a)= f(a)\quad\forall a\in \mathbb{R}

    Un intervallo che rispetta le ipotesi del teorema  di Rolle è ad esempio:

    [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]

    In realtà andrebbe bene qualsiasi intervallo del tipo [-a, a] con 0\textless a\le \sqrt{3}.

     

    Per risolvere questi esercizi, bisogna conoscere le ipotesi di ciascun teorema ;)

     

    PS: Per l'altro esercizio è necessario aprire un'altra domanda :P

    Risposta di Ifrit
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