Soluzioni
  • Ciao Submarcos, quale parte della dimostrazione non hai capito?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • partendo dal resupposto che l'ho trovati in n posti diversi in n modi diversi... direi che sarebbe meglio azzerare tutto e farne una ex novo.  se poi mi dici di scriverne una per me è indifferente...

    Risposta di submarcos90
  • Ok: possiamo farlo qui perché la dimostrazione non è eccessivamente lunga (in caso contrario, sarebbe stato meglio procedere nel Forum).

    Vogliamo dimostrare che, data un'applicazione lineare f:V\to W tra spazi vettoriali, risulta

    dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

    Proviamolo. Sia n la dimensione di V; essendo Ker(f)\subseteq V un sottospazio vettoriale, ammetterà una base

    v_1,...,v_r

    completiamo tale base ad una base di V (il che è sempre possibile: perché?)

    v_1,...,v_r,v_{r+1},...,v_n

    Se riusciamo a dimostrare che 

    f(v_{r+1}),...,f(v_n)

    è una base di Im(f), abbiamo finito.

    Naturalmente 

    f(v_1),...,f(v_r),f(v_{r+1}),...,f(v_n)

    è un sistema di generatori di Im(f), ma in particolare essendo v_1,...,v_r una base del nucleo Ker(f) abbiamo che

    f(v_1)=...=f(v_r)=0

    quindi

    f(v_{r+1}),...,f(v_n)

    è un sistema di generatori di Im(f).

    Dobbiamo solamente dimostrare che f(v_{r+1}),...,f(v_n) sono vettori linearmente indipendenti, da cui seguirà che f(v_{r+1}),...,f(v_n) è una base di Im(f), da cui dim(Im(f))=n-r, da cui la tesi.

    Per vedere che tali vettori sono linearmente indipendenti, poniamo

    a_{r+1}f(v_{r+1})+...+a_nf(v_n)=0

    con a_i\mbox{, }i=r+1...n scalari del campo. Vogliamo mostrare che l'unica eventualità in cui la precedente combinazione lineare è nulla è data da

    a_i=0\mbox{, }i=r+1...n

    Grazie alla linearità di f

    a_{r+1}f(v_{r+1})+...+a_nf(v_n)=f(a_{r+1}v_{r+1}+...+a_nv_n)=0

    vale a dire

    a_{r+1}v_{r+1}+...+a_nv_n\in Ker(f)

    Esprimendo questo vettore rispetto alla precedente base considerata per Ker(f)

    a_{r+1}v_{r+1}+...+a_nv_n=a_1v_1+...+a_rv_r

    ossia

    a_{r+1}v_{r+1}+...+a_nv_n-a_1v_1-...-a_rv_r=0

    Qui viene il bello: v_1,...,v_n è una base di V, quindi l'unica eventualità in cui una combinazione lineare degli elementi della base si annulli è che i coefficienti della combinazione siano tutti nulli. In particolare, segue che

    a_i=0\mbox{, }i=1...n

    e ancora più in particolare

    a_i=0\mbox{, }i=r+1...n

    Abbiamo finito: se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille! :D Gentile, preciso e puntuale come sempre!

    Risposta di submarcos90
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