Soluzioni
  • Il teorema delle dimensioni (o teorema della nullità più rango) mette in relazione le dimensioni di nucleo e immagine di un'applicazione lineare con la dimensione dello spazio vettoriale su cui è definita l'applicazione stessa.

    Volendo essere più precisi, se F:V\toW è un'applicazione lineare, il teorema delle dimensioni afferma che la dimensione di V è uguale alla somma tra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine dell'applicazione F

    \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))

    Le dimensioni di nucleo e immagine di un'applicazione lineare F vengono dette, rispettivamente, nullità di F e rango di F, ed ecco quindi il motivo per cui il teorema delle dimensioni viene anche detto teorema della nullità più rango.

    Enunciato del teorema delle dimensioni

    Ora che ci siamo fatti un'idea di ciò che afferma il teorema delle dimensioni è giunto il momento di alzare il tiro e proporre un enunciato preciso e rigoroso.

    Siano V,W due spazi vettoriali finitamente generati su un campo \mathbb{K} e sia F:V\to W un'applicazione lineare da V a W. Allora

    \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))

    Dimostrazione del teorema delle dimensioni

    Sia n la dimensione dello spazio vettoriale V. Come dimostrato nella lezione sul nucleo di un'applicazione lineare, \mbox{Ker}(F) è un sottospazio vettoriale di V e quindi ammette una base, che indichiamo con

    \mathcal{B}=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_r\}, \mbox{ con } 0\le r \le n

    Se r=n allora V=\mbox{Ker}(F) e \mbox{Im}(F)=\{\mathbf{0}\}.

    Infatti se il nucleo di F coincide con l'intero spazio vettoriale V, allora l'immagine tramite F di ogni vettore di V è il vettore nullo di W, e quindi \mbox{Im}(F)=\{\mathbf{0}\}.

    Da ciò segue che la dimensione dell'immagine è zero, e quindi si ha la tesi, infatti

    n=\mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=n+0=n

    Possiamo allora supporre che 0\le r<n..

    Se r=0, ossia se \mbox{Ker}(F)=\{\mathbf{0}\}, consideriamo una base di V che indichiamo con \mathcal{B}_{V}.

    Se invece 0<r<n, costruiamo una base di \mathcal{B}_{V} di V nel modo seguente.

    Essendo i vettori \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_r vettori linearmente indipendenti di V, possiamo usare il teorema di completamento a base e completare \mathcal{B} a una base di V, che indichiamo con

    \mathcal{B}_V=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_r, \mathbf{v}_{r+1}, ..., \mathbf{v}_n\}

    Nella lezione dedicata all'immagine di un'applicazione lineare abbiamo dimostrato che le immagini dei vettori di una base di V mediante F formano un sistema di generatori per \mbox{Im}(F), ossia

    \mbox{Im}(F)=\mbox{Span}(F(\mathbf{u}_1), F(\mathbf{u}_2), ..., F(\mathbf{u}_r), F(\mathbf{v}_{r+1}), ..., F(\mathbf{v}_n))

    dove \mbox{Span} indica il sottospazio generato.

    Essendo \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_r\} i vettori di una base del nucleo abbiamo che

    F(\mathbf{u}_i)=\mathbf{0}\ \ \forall i \in \{1,2,...,r\}

    e dunque

    \mbox{Im}(F)=\mbox{Span}(F(\mathbf{v}_{r+1}), ..., F(\mathbf{v}_n))

    Se proviamo che F(\mathbf{v}_{r+1}), ..., F(\mathbf{v}_n) sono linearmente indipendenti, allora

    \{F(\mathbf{v}_{r+1}), ..., F(\mathbf{v}_n)\}

    è una base di \mbox{Im}(F), da cui scaturisce che

    \mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=n-r

    e quindi la tesi del teorema della nullità più rango.

    Per verificare l'indipendenza lineare tra tali vettori costruiamo una loro combinazione lineare e poniamola uguale al vettore nullo

    \lambda_{r+1}F(\mathbf{v}_{r+1})+ ...+\lambda_n F(\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}

    Se proviamo che l'unica eventualità in cui la precedente combinazione lineare è nulla è data da \lambda_{r+1}=...=\lambda_n=0 avremo provato l'indipendenza lineare.

    Per la linearità dell'applicazione F possiamo riscrivere la precedente uguaglianza nella forma

    F(\lambda_{r+1}\mathbf{v}_{r+1}+ ...+\lambda_n \mathbf{v}_n) = \mathbf{0}

    di conseguenza il vettore

    \lambda_{r+1}\mathbf{v}_{r+1}+ ...+\lambda_n \mathbf{v}_n

    appartiene al nucleo di F.

    In quanto tale può essere espresso come combinazione lineare dei vettori di \mathcal{B}, ossia esistono \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r \in \mathbb{K} tali che

    \lambda_{r+1}\mathbf{v}_{r+1}+ ...+\lambda_n \mathbf{v}_n=\alpha_1 \mathbf{u}_1+\alpha_2 \mathbf{u}_2+...+\alpha_r \mathbf{u}_r

    Portando tutto a secondo membro ricadiamo nella seguente uguaglianza

    \alpha_1 \mathbf{u}_1+\alpha_2 \mathbf{u}_2+...+\alpha_r \mathbf{u}_r-\lambda_{r+1}\mathbf{v}_{r+1}- ...-\lambda_n \mathbf{v}_n=\mathbf{0}

    Se ben ricordate, \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_r, \mathbf{v}_{r+1}, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V, dunque l'unica eventualità in cui una combinazione lineare degli elementi della base si annulli è che i coefficienti della combinazione siano tutti nulli, quindi dev'essere

    \lambda_{r+1}=...=\lambda_n=0

    e ciò conclude la dimostrazione.

    Conseguenze del teorema delle dimensioni

    Ricordando che un'applicazione lineare F:V\to W è:

    - iniettiva se solo se \mbox{Ker}(F)=\{\mathbf{0}\}

    - suriettiva se e solo se \mbox{Im}(F)=W

    dal teorema della nullità più rango segue che:

    1) F è iniettiva se e solo se

    \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))

    2) Se V=W, ossia se F è un endomorfismo, allora F è iniettiva se e solo se è suriettiva.

    ***

    Se ciò non bastasse, il teorema delle dimensioni permette di dimezzare i conti in tutti quegli esercizi in cui viene richiesto di calcolare la dimensione del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare F:V\to W.

    Dopo esser risaliti alla dimensione di V basta, infatti, calcolare la dimensione del nucleo o dell'immagine di F e trovare l'altra per differenza.

    Risposta di Galois
 
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