Soluzioni
  • Ciao Firefly, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Dato che la dicitura "insieme di livello" può riferirsi a molte cose in Analisi, mi servirebbe una contestualizzazione dell'argomento.

    Ad esempio: stiamo parlando di funzioni di due variabili?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si, funzioni a due variabili!

    Risposta di firefly
  • Ok: stiamo parlando di curve di livello, immagino?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • nella domanda della professoressa c'era scritto insieme di livello ma immagino che stesse parlando della curva di livello

    Risposta di firefly
  • Direi proprio di sì :)

    Dunque: un insieme, o curva di livello, di k=0 per una funzione di due variabili f(x,y)=0 è l'insieme dei punti di \mathbb{R}^2 tali che

    \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. } f(x,y)=0\}

    L'insieme, o curva, di livello di una funzione di due variabili può essere il grafico di una funzione di una variabile y=g(x). Per definizione il grafico di una funzione di una variabile è l'insieme

    G(g):=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. }y=g(x)\}

    Ci basta allora individuare una funzione di due variabili z=f(x,y) il cui grafico taglia sul piano z=0 un luogo geometrico di punti \{(x,y)\} che non possa essere espresso in termini di grafico di una funzione.

    Un esempio? Una qualsiasi curva definita come luogo di zeri, ad esempio una circonferenza di raggio 1 e centro (0,0). Ci basta considerare la funzione

    f(x,y)=x^2+y^2-1

    per cui

    f(x,y)=0

    è l'insieme dei punti (x,y)\in\mathbb{R}^2 tali che

    x^2+y^2=1

    e non è il grafico di alcuna funzione g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}.

    A tal proposito abbiamo un po' di cosette interessanti, qui su YM, come gli esercizi sulle curve di livello...Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille!

    Risposta di firefly
 
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