Ciao Firefly, arrivo a risponderti...
Dato che la dicitura "insieme di livello" può riferirsi a molte cose in Analisi, mi servirebbe una contestualizzazione dell'argomento.
Ad esempio: stiamo parlando di funzioni di due variabili?
Namasté!
si, funzioni a due variabili!
Ok: stiamo parlando di curve di livello, immagino?
Namasté!
nella domanda della professoressa c'era scritto insieme di livello ma immagino che stesse parlando della curva di livello
Direi proprio di sì :)
Dunque: un insieme, o curva di livello, di
per una funzione di due variabili 
è l'insieme dei punti di 
tali che
L'insieme, o curva, di livello di una funzione di due variabili può essere il grafico di una funzione di una variabile
. Per definizione il grafico di una funzione di una variabile è l'insieme
Ci basta allora individuare una funzione di due variabili
il cui grafico taglia sul piano 
un luogo geometrico di punti 
che non possa essere espresso in termini di grafico di una funzione.Un esempio? Una qualsiasi curva definita come luogo di zeri, ad esempio una circonferenza di raggio 1 e centro
. Ci basta considerare la funzione
per cui
è l'insieme dei punti
tali che
e non è il grafico di alcuna funzione
.A tal proposito abbiamo un po' di cosette interessanti, qui su YM, come gli esercizi sulle curve di livello...
Namasté!
grazie mille!
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