Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di calcolare la distanza tra le rette r\ \mbox{e} \ s descritte dalle equazioni

    \\ r:\ \begin{cases}x+y-z-1=0\\ 2x+z-3=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x-y-z+1=0\\ x-y=0\end{cases}

    ma prima occorre studiare la loro posizione reciproca.

    Per studiare la mutua posizione delle rette nello spazio consideriamo il sistema lineare composto dalle equazioni cartesiane di r,s

    \begin{cases}x+y-z=1\\ 2x+z=3\\ x-y-z=-1\\ x-y=0\end{cases}

    In base al numero di soluzioni del sistema, distinguiamo i seguenti casi:

    - se il sistema è impossibile, r,s sono rette parallele e distinte, oppure sono rette sghembe;

    - se il sistema ammette un'unica soluzione, r,s sono rette incidenti e il punto di intersezione è dato dalla soluzione del sistema;

    - se il sistema ammette \infty^{1} soluzioni, le rette sono parallele e coincidenti;

    Grazie al teorema di Rouché-Capelli, questo schema può essere riscritto in termini di ranghi delle matrici associate al sistema. Dette A e (A|\mathbf{b}) rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema lineare, allora:

    - se \mbox{rk}(A)<\mbox{rk}(A|\mathbf{b}), le rette sono parallele e distinte, oppure sono sghembe;

    - se \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3, le rette sono incidenti;

    - se \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2, le rette sono parallele e coincidenti.

    Alla luce di queste osservazioni, costruiamo la matrice completa

    (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\ 2&0&1&3\\ 1&-1&-1&-1\\ 1&-1&0&0\end{array}\right)

    e calcoliamone il rango riducendola a scala con il metodo di Gauss.

    Grazie alle mosse elementari

    \\ R_2\ \to \  R_2-2R_1=\\ \\ =(2,0,1,3)-2(1,1,-1,1)=(0,-2,3,1) \\ \\ \\ R_3\ \to \ R_3-R_1=\\ \\ =(1,-1,-1,-1)-(1,1,-1,1)=(0,-2,0,-2)\\ \\ \\ R_4\ \to \ R_4-R_1=\\ \\ =(1,-1,0,0)-(1,1,-1,1)=(0,-2,1,-1)

    otteniamo la matrice i cui elementi della prima colonna sono tutti nulli, eccezion fatta per il primo:

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\ 0&-2&3&1\\ 0&-2&0&-2\\ 0&-2&1&-1\end{array}\right)

    Continuiamo con la riduzione annullando tutti i termini della seconda colonna che sottostanno all'elemento a_{22}'=-2: usiamo quindi le mosse elementari

    \\ R_3 \ \to \ R_3-R_2=\\ \\ =(0,-2,0,-2)-(0,-2,3,1)=(0,0,-3,-3)\\ \\ \\ R_4 \ \to \ R_4-R_2=\\ \\ =(0,-2,1,-1)-(0,-2,3,1)=(0,0,-2,-2)

    così da ottenere la matrice

    (A|\mathbf{b})''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\ 0&-2&3&1\\ 0&0&-3&-3\\ 0&0&-2&-2\end{array}\right)

    Annulliamo infine il termine a_{44}''=-2 avvalendoci della mossa di Gauss:

    R_4 \ \to \ R_4-\frac{2}{3}R_3=\\ \\ =(0,0,-2,-2)-\frac{2}{3}(0,0,-3,-3)=(0,0,0,0)

    In definitiva, una riduzione di (A|\mathbf{b}) è:

    (A|\mathbf{b})'''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\ 0&-2&3&1\\ 0&0&-3&-3\\ 0&0&0&0\end{array}\right)

    grazie alla quale deduciamo che il rango di A coincide con il rango di (A|\mathbf{b}) e valgono entrambi 3, perciò il sistema lineare ammette una sola soluzione: dal punto di vista geometrico, ciò si traduce nel fatto che le due rette sono incidenti.

    In accordo con la definizione di distanza tra due rette nello spazio, r\ \mbox{e} \ s hanno distanza nulla, proprio perché rette incidenti, ecco perché scriviamo:

    d(r,s)=0

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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