Dubbi su studio di funzione con valore assoluto

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Salve a tutti amici ho qualche dubbio con uno studio di funzione con valore assoluto, vi posto i miei ragionamenti e correggetemi per favore. Vi ringrazio in anticipo

 

la funzione è la seguente

 

\frac{x^{2}}{ln(|x|)-1}

 

allora notiamo che la funzione è pari quindi la possiamo studiare solo per le x>0. ora inziano i miei dubbi.

 

quando ho esercizi col valore assoluto sono solito diversificare la funzione ad esempio:

 

\frac{x^{2}}{|x-1|}

 

la riscrivo come

 

\frac{x^{2}}{x-1} per le x>0

 

\frac{x^{2}}{-x+1}per le x<0

 

ora però il valore assoluto si trova tra l'argomento della x, quindi non dovrei diversificare perché facendolo otterrei

 

\frac{x^{2}}{ln(-x)-1}per le

 

PRIMA DOMANDA:

 

-In questo caso quindi non devo diversificare la funzione per le x>0 e per le x<0 giusto

 

dopodiché ho calcolato il dominio e quindi 

 

D=R/{+ o - e; 0}

 

ne ho studiato i limiti

 

\lim_{x\to 0}{\frac{x^{2}}{ln|x|-1}}=0

 

\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{ln|x|-1}}=\infty

 

\lim_{x\to +-e}{\frac{x^{2}}{ln|x|-1}}=\infty

 

quindi x= + o - e  è asintoto verticale, 0 è asintoto orizzontale sinistro, non ci sono asintoti obliqui.

 

SECONDA DOMANDA:

 

è giusto? XD

 

Passiamo alla derivata.

 

secondo il libro la derivata esce

 

\frac{x(2lnx-3)}{(lnx-1)^{2}}  

 

 è indubbiamente giusta, ma a a me esce

 

\frac{2x(lnx-1)+x}{(lnx-1)^{2}}

 

che moltiplicato mi dà

 

\frac{2xlnx-2x+x)}{(lnx-1)^{2}}

 

quindi:

 

\frac{x(2lnx-1)}{(lnx-1)^{2}}

 

dove sbaglio?

 

potreste chiarirmi come procedere col valore assoluto negli studi di funzione? 

 

 

Domanda di WhiteCell

 
Soluzioni

  • Non preoccuparti, con una conferma si risolve tutto! Wink

    Intanto premetto che qui trovi la guida sullo studio di funzione (click!), e qui puoi leggere un'interessante discussione sullo studio di funzioni con valore assoluto.

    Veniamo alla nostra cara funzione: qui puoi tranquillamente distinguere tra le due funzioni

    f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{\ln{(-x)}-1}&x\textless 0\\ \frac{x^2}{\ln{(x)}-1}& x> 0\end{matrix}

    se ho capito il tuo dubbio, il problema deriverebbe da quel "-" nell'argomento del logaritmo, nel qual caso non farti problemi perché è vero che all'argomento del logaritmo hai -x, ma è nell'ipotesi x\textless 0 e quindi -x>0. Quindi funziona tutto :)

    Il dominio della funzione considerata si ottiene richidendo che

    - l'argomento del logaritmo sia positivo, ma dato che c'è il modulo dobbiamo solo richiedere che x\neq 0

    - il denominatore non si annulli, quindi

    \ln{(|x|)}\neq 1

    |x|\neq e

    x\neq\pm e

    e mettendo a sistema le due condizioni:

    Dom(f)=(-\infty,-e)\cup(-e,0)\cup(0,e)\cup(e,+\infty)

    Tutto ok, dunque!

    ---

    Rivedrei con più calma i limiti: tutti...

    ---

    Per quanto riguarda la derivata, si fa prima a vedere i conti: ma prima ci occuperemo dei limiti, sempre qui...

    ---

    A tra poco, fammi sapere...

    Risposta di Omega

  • perché i limiti sono sbagliati, potresti farmeli vedere per favore?

    Risposta di WhiteCell

  • Certamente: non sono sbagliati, ma così non ti danno alcuna informazione circa il comportamento della funzione nell'intorno dei punti esclusi dal dominio.

    Nel senso: bisogna specificare il segno degli infiniti a seconda che i limiti vengano calcolati da sinistra o da destra. Abbiamo

    \lim_{x\to (-e)^{-}}{f(x)}=+\infty

    \lim_{x\to (-e)^{+}}{f(x)}=-\infty

    \lim_{x\to (0)^{-}}{f(x)}=0^{-}

    e già questo sarebbe sufficiente, perché la funzione è pari e dunque, come hai correttamente osservato, simmetrica rispetto all'asse delle y. Ma onde evitare qualsiasi tipo di confusione...

    \lim_{x\to (0)^{+}}{f(x)}=0^{-}

    \lim_{x\to (e)^{-}}{f(x)}=-\infty

    \lim_{x\to (e)^{+}}{f(x)}=+\infty

    In particolare:

    - x=0 è un punto di discontinuità di terza specie (eliminabile)

    - x=\pm e sono punti di discontinuità di seconda specie, in cui la funzione presenta due asintoti verticali.

    Deriviamo? Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ahahahahahah se non ti do molto fastidio sì. grazie sei gentilissimo :)

    Risposta di WhiteCell

  • Ok, let's do that! :)

    Calcoliamo, con la regola di derivazione del rapporto di funzioni:

    f'(x)=\frac{2x[\ln{(|x|)}-1]-x^2\left[\frac{1}{|x|}\frac{|x|}{x}\right]}{[\ln{(|x|)}-1]^2}

    Semplifichiamo il semplificabile:

    f'(x)=\frac{2x[\ln{(|x|)}-1]-x^2\left[\frac{1}{x}\right]}{[\ln{(|x|)}-1]^2}

    f'(x)=\frac{2x[\ln{(|x|)}-1]-x}{[\ln{(|x|)}-1]^2}

    f'(x)=\frac{2x\ln{(|x|)}-3x}{[\ln{(|x|)}-1]^2}

    e quindi, mio malgrado, mi vedo costretto contrariamente alla mia volontà a dare ragione al libro Frown

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ops avevo messo al posto del - il +Embarassed.

    XDDD a volte mi stupisco di quanto io ci metta l'impegno per sbagliare un esercizio. 

    Omega graize grazie grazie, un giorno mi dici dove abiti che ti invio un regalo o te lo porto io a nome di tutti quelli che come me hanno un talento nel fare errori da prime media.

    Grazie amico :)

    Risposta di WhiteCell

  • Embarassed Laughing

    Sei il benvenuto e sarai sempre di casa, qui su YouMath!! 

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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