Dubbi su studio di funzione con valore assoluto

Salve a tutti amici ho qualche dubbio con uno studio di funzione con valore assoluto, vi posto i miei ragionamenti e correggetemi per favore. Vi ringrazio in anticipo

la funzione è la seguente

$\frac{x^{2}}{ln(|x|)-1}$

allora notiamo che la funzione è pari quindi la possiamo studiare solo per le x>0. ora inziano i miei dubbi.

quando ho esercizi col valore assoluto sono solito diversificare la funzione ad esempio:

$\frac{x^{2}}{|x-1|}$

la riscrivo come

$\frac{x^{2}}{x-1} per le x>0$

$\frac{x^{2}}{-x+1}per le x<0$

ora però il valore assoluto si trova tra l'argomento della x, quindi non dovrei diversificare perché facendolo otterrei

$\frac{x^{2}}{ln(-x)-1}per le$

PRIMA DOMANDA:

-In questo caso quindi non devo diversificare la funzione per le x>0 e per le x<0 giusto

dopodiché ho calcolato il dominio e quindi

ne ho studiato i limiti

$\lim_{x\to 0}{\frac{x^{2}}{ln|x|-1}}=0$

$\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{2}}{ln|x|-1}}=\infty$

$\lim_{x\to +-e}{\frac{x^{2}}{ln|x|-1}}=\infty$

quindi x= + o - e è asintoto verticale, 0 è asintoto orizzontale sinistro, non ci sono asintoti obliqui.

SECONDA DOMANDA:

è giusto? XD

Passiamo alla derivata.

secondo il libro la derivata esce

$\frac{x(2lnx-3)}{(lnx-1)^{2}}$

è indubbiamente giusta, ma a a me esce

$\frac{2x(lnx-1)+x}{(lnx-1)^{2}}$

che moltiplicato mi dà

$\frac{2xlnx-2x+x)}{(lnx-1)^{2}}$

quindi:

$\frac{x(2lnx-1)}{(lnx-1)^{2}}$

dove sbaglio?

potreste chiarirmi come procedere col valore assoluto negli studi di funzione?

Domanda di WhiteCell

Soluzioni

Non preoccuparti, con una conferma si risolve tutto!
Intanto premetto che qui trovi la guida sullo studio di funzione (click!), e qui puoi leggere un'interessante discussione sullo studio di funzioni con valore assoluto.
Veniamo alla nostra cara funzione: qui puoi tranquillamente distinguere tra le due funzioni
$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{\ln{(-x)}-1}&x\textless 0\\ \frac{x^2}{\ln{(x)}-1}& x> 0\end{matrix}$
se ho capito il tuo dubbio, il problema deriverebbe da quel "-" nell'argomento del logaritmo, nel qual caso non farti problemi perché è vero che all'argomento del logaritmo hai , ma è nell'ipotesi $x\textless 0$ e quindi . Quindi funziona tutto :)
Il dominio della funzione considerata si ottiene richidendo che
- l'argomento del logaritmo sia positivo, ma dato che c'è il modulo dobbiamo solo richiedere che $x\neq 0$
- il denominatore non si annulli, quindi
$\ln{(|x|)}\neq 1$
$|x|\neq e$
$x\neq\pm e$
e mettendo a sistema le due condizioni:
$Dom(f)=(-\infty,-e)\cup(-e,0)\cup(0,e)\cup(e,+\infty)$
Tutto ok, dunque!
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Rivedrei con più calma i limiti: tutti...
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Per quanto riguarda la derivata, si fa prima a vedere i conti: ma prima ci occuperemo dei limiti, sempre qui...
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A tra poco, fammi sapere...
Risposta di Omega
perché i limiti sono sbagliati, potresti farmeli vedere per favore?
Risposta di WhiteCell
Certamente: non sono sbagliati, ma così non ti danno alcuna informazione circa il comportamento della funzione nell'intorno dei punti esclusi dal dominio.
Nel senso: bisogna specificare il segno degli infiniti a seconda che i limiti vengano calcolati da sinistra o da destra. Abbiamo
$\lim_{x\to (-e)^{-}}{f(x)}=+\infty$
$\lim_{x\to (-e)^{+}}{f(x)}=-\infty$
$\lim_{x\to (0)^{-}}{f(x)}=0^{-}$
e già questo sarebbe sufficiente, perché la funzione è pari e dunque, come hai correttamente osservato, simmetrica rispetto all'asse delle . Ma onde evitare qualsiasi tipo di confusione...
$\lim_{x\to (0)^{+}}{f(x)}=0^{-}$
$\lim_{x\to (e)^{-}}{f(x)}=-\infty$
$\lim_{x\to (e)^{+}}{f(x)}=+\infty$
In particolare:
- è un punto di discontinuità di terza specie (eliminabile)
- $x=\pm e$ sono punti di discontinuità di seconda specie, in cui la funzione presenta due asintoti verticali.
Deriviamo?
Namasté!
Risposta di Omega
ahahahahahah se non ti do molto fastidio sì. grazie sei gentilissimo :)
Risposta di WhiteCell
Ok, let's do that! :)
Calcoliamo, con la regola di derivazione del rapporto di funzioni:
$f'(x)=\frac{2x[\ln{(|x|)}-1]-x^2\left[\frac{1}{|x|}\frac{|x|}{x}\right]}{[\ln{(|x|)}-1]^2}$
Semplifichiamo il semplificabile:
$f'(x)=\frac{2x[\ln{(|x|)}-1]-x^2\left[\frac{1}{x}\right]}{[\ln{(|x|)}-1]^2}$
$f'(x)=\frac{2x[\ln{(|x|)}-1]-x}{[\ln{(|x|)}-1]^2}$
$f'(x)=\frac{2x\ln{(|x|)}-3x}{[\ln{(|x|)}-1]^2}$
e quindi, mio malgrado, mi vedo costretto contrariamente alla mia volontà a dare ragione al libro
Namasté!
Risposta di Omega
ops avevo messo al posto del - il +.
XDDD a volte mi stupisco di quanto io ci metta l'impegno per sbagliare un esercizio.
Omega graize grazie grazie, un giorno mi dici dove abiti che ti invio un regalo o te lo porto io a nome di tutti quelli che come me hanno un talento nel fare errori da prime media.
Grazie amico :)
Risposta di WhiteCell
Sei il benvenuto e sarai sempre di casa, qui su YouMath!!
Namasté!
Risposta di Omega