Soluzioni
  • Fissiamo un sistema monometrico ortonormale Oxyz nello spazio tridimensionale. Il nostro compito consiste nello scrivere le equazioni parametriche della retta s sapendo che:

    - passa per il punto P(x_{P},y_{P},z_{P})=(0,0,-1);

    - è incidente e perpendicolare alla retta r di cui conosciamo le equazioni parametriche

    r:\ \begin{cases}x=7-2t\\ y=2\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Per risolvere il problema, prendiamo un punto mobile Q(t) della retta r

    Q(t)=(7-2t,2,t) \ \ \mbox{al variare di} \ t\in\mathbb{R}

    e costruiamo il vettore congiungente i punti P\ \mbox{e} \ Q(t)

    \\ \overrightarrow{PQ(t)}=(x_{Q}-x_{P},\ y_{Q}-y_{P},\ z_{Q}-z_{P})= \\ \\ =(7-2t-0,\ 2-0, \ t-(-1))=(7-2t, 2, t+1)

    Affinché s sia perpendicolare e incidente a r dobbiamo richiedere che \overrightarrow{PQ}(t) sia perpendicolare al vettore direttore di r

    \mathbf{v}_{r}=(-2,0,1)

    e ciò avviene se e solo se è nullo il prodotto scalare euclideo tra \overrightarrow{PQ}(t)\mathbf{v}_{r}

    \overrightarrow{PQ}(t)\cdot\mathbf{v}_{r}=0

    vale a dire

    (7-2t,2,t+1)\cdot (-2,0,1)=0

    Svolgiamo i calcoli così da ricondurci all'equazione di primo grado nell'incognita t

    \\ (7-2t)\cdot (-2)+2\cdot 0+(t+1)\cdot 1=0 \\ \\ -14+4t+t+1=0 \ \ \ \to \ \ \ -13+5t=0

    soddisfatta dal valore

    t=\frac{13}{5}

    Se sostituiamo t=\frac{13}{5} nelle coordinate di Q(t), otteniamo il punto

    Q=Q\left(\frac{13}{5}\right)=\left(7-2\cdot\frac{13}{5},2,\frac{13}{5}\right)=\left(\frac{9}{5},2,\frac{13}{5}\right)

    il quale fa sì che la retta s, passante per P,Q, sia incidente e ortogonale alla retta r.

    Note le coordinate dei punti P \ \mbox{e} \ Q, siamo finalmente in grado di scrivere le equazioni di s: basta rifarsi alla formula della retta passante per due punti

    s:\ \begin{cases}x=x_{P}+(x_{Q}-x_{P})t \\ y=y_{P}+(y_{Q}-y_{P})t\\ z=z_{P}+(z_{Q}-z_{P})t\end{cases} \ \ \to \ \ \begin{cases}x=0+\left(\frac{9}{5}-0\right)t \\  y=0+2t\\  z=-1+\left(\frac{13}{5}+1\right)t\end{cases}

    e svolgere i calcoli.

    s:\ \begin{cases}x=\frac{9}{5}t \\ y=2t \\ z=-1+\frac{18}{5}t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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