Retta incidente e ortogonale a una retta nello spazio

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Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di determinare le equazioni di una retta passante per un punto, perpendicolare e incidente a un'altra. Ho chiesto a un mio collega e mi ha riferito che è necessario trovare prima di tutto il piano contenente le due rette, ma ancora non lo abbiamo fatto a lezione. Potreste darmi una soluzione alternativa?

 

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano Oxyz, scrivere le equazioni della retta s passante per P(0,0,-1), incidente e ortogonale alla retta r di equazioni parametriche

 

r: x = 7-2t ; y = 2 ; z = t con t∈R

 

Grazie.

Domanda di sonia

 
Soluzioni

  • Fissiamo un sistema monometrico ortonormale Oxyz nello spazio tridimensionale. Il nostro compito consiste nello scrivere le equazioni parametriche della retta s sapendo che:

    - passa per il punto P(x_(P),y_(P),z_(P)) = (0,0,-1);

    - è incidente e perpendicolare alla retta r di cui conosciamo le equazioni parametriche

    r: x = 7-2t ; y = 2 ; z = t con t∈R

    Per risolvere il problema, prendiamo un punto mobile Q(t) della retta r

    Q(t) = (7-2t,2,t) al variare di t∈R

    e costruiamo il vettore congiungente i punti P e Q(t)

    overrightarrowPQ(t) = (x_(Q)-x_(P), y_(Q)-y_(P), z_(Q)-z_(P)) = (7-2t-0, 2-0, t-(-1)) = (7-2t, 2, t+1)

    Affinché s sia perpendicolare e incidente a r dobbiamo richiedere che overrightarrowPQ(t) sia perpendicolare al vettore direttore di r

    v_(r) = (-2,0,1)

    e ciò avviene se e solo se è nullo il prodotto scalare euclideo tra overrightarrowPQ(t) e  v_(r)

    overrightarrowPQ(t)·v_(r) = 0

    vale a dire

    (7-2t,2,t+1)·(-2,0,1) = 0

    Svolgiamo i calcoli così da ricondurci all'equazione di primo grado nell'incognita t

    (7-2t)·(-2)+2·0+(t+1)·1 = 0 ;-14+4t+t+1 = 0 → -13+5t = 0

    soddisfatta dal valore

    t = (13)/(5)

    Se sostituiamo t = (13)/(5) nelle coordinate di Q(t), otteniamo il punto

    Q = Q((13)/(5)) = (7-2·(13)/(5),2,(13)/(5)) = ((9)/(5),2,(13)/(5))

    il quale fa sì che la retta s, passante per P,Q, sia incidente e ortogonale alla retta r.

    Note le coordinate dei punti P e Q, siamo finalmente in grado di scrivere le equazioni di s: basta rifarsi alla formula della retta passante per due punti

    s: x = x_(P)+(x_(Q)-x_(P))t ; y = y_(P)+(y_(Q)-y_(P))t ; z = z_(P)+(z_(Q)-z_(P))t → x = 0+((9)/(5)-0)t ; y = 0+2t ; z = -1+((13)/(5)+1)t

    e svolgere i calcoli.

    s: x = (9)/(5)t ; y = 2t ; z = -1+(18)/(5)t con t∈R

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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