Disequazione esponenziale con radici

Mi aiutate con la risoluzione di una disequazione esponenziale con le esponenziali sotto radice quadrata, per favore? Grazie in anticipo!

√(2^(x)) ≥ 8 [3]√(4^(x−1)).

Domanda di Klelia
Soluzioni

√(2^(x)) ≥ 8 [3]√(4^(x−1))

Il trucco per risolvere questo tipo di disequazioni esponenziali è sempre lo stesso, bisogna esprimere ciascun esponente nella stessa base:

• √(2^(x)) = (2^x)^((1)/(2))

Per una nota proprietà delle potenze

(a^(b))^c = a^(bc)

(2^x)^((1)/(2)) = 2^((x)/(2))

• 8 = 2^3

• [3]√(4^(x−1)) = ((2^2)^(x−1))^((1)/(3)) = 2^((2(x−1))/(3))

A questo punto:

8[3]√(4^(x−1)) = 2^3 2^((2x−2)/(3)) = 2^(3+(2x−2)/(3))

= 2^((9+2x−2)/(3)) = 2^((7+2x)/(3))

La disequazione si esprime come:

2^((x)/(2)) ≥ 2^((7+2x)/(3))

A questo punto questa disequazione è soddisfatta se e solo se:

(x)/(2) ≥ (7+2x)/(3)

Portiamo tutto al primo membro 

(x)/(2)−(7+2x)/(3) ≥ 0

Calcoli il denominatore comune:

(3x−2(7+2x))/(6) ≥ 0

Da cui:

3x−14−4x ≥ 0

−x ≥ 14

Cambiando segno e verso otteniamo:

x ≤ −14

Risposta di Ifrit

Grazie mille! ;)

Risposta di Klelia

Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra
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