Calcolo dell'area di un rombo

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Buongiorno a tutti non riesco a fare questo problema sull'area di un rombo:

 

calcola l'area di un rombo che ha la diagonale maggiore di 16 cme un angolo di 120°. Mi potreste spiegare i passaggi per favore?

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Ciao Jumpy, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Chiamiamo A,B,C,D i quattro vertici del rombo: un angolo del rombo misura 120^(o), per cui tale angolo, diciamo BAD, si oppone alla diagonale maggiore BD. Questo perché in un rombo gli angoli opposti sono congruenti e, in particolare, la restante coppia di angoli sarà costituita da angoli di ampiezza 60^(o).

    Relativamente al triangolo ABD, possiamo ricorrere al teorema di Carnot per calcolare la lunghezza del lato del rombo:

    BD^2 = AB^2+AD^2-2AB·AD·sin(BAD)

    ossia, chiamando l il lato del rombo

    BD^2 = 2l^2(1-sin((120^(o)))

    vale a dire

    l^2 = (BD^2)/(2(1-sin((120^(o))))) = (256)/(2(1-2(√(3))/(2)))

    e quindi

    l^2 = (128)/(1-√(3))

    Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare la lunghezza dell'altra semidiagonale: chiamiamo H il punto di incontro delle due diagonali

    AH^2 = l^2-BH^2

    dove BH = BD/2

    AH^2 = (128)/(1-√(3))-64 = (128-64+64√(3))/(1-√(3)) = (64+64√(3))/(1-√(3))

    Ora non resta che calcolare l'area del rombo come semiprodotto delle diagonali

    A_(rombo) = (AC·BD)/(2) = (2√((64+64√(3))/(1-√(3)))·16)/(2)

    A te il conto! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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