Soluzioni
  • Ciao Dam, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Consideriamo la disequazione

    \frac{2ax}{(a+1)(x-2)}\leq 0

    il parametro a è da considerarsi come un "numero reale non meglio precisato": come se fosse una costante (in questo c'è tutta la differenza rispetto alla variabile x).

    Facciamo riferimento al metodo per le disequazioni fratte: per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: guardando il denominatore, deve necessariamente essere a\neq -1.

    Osserva che a seconda del segno della costante moltiplicativa (a+1) il segno dell'intera frazione cambia. Sulla base di questo fatto, possiamo semplificarci di molto lo svolgimento distinguendo tra due diversi casi:

    - CASO a+1>0 , per cui possiamo riscrivere la disequazione come

    \frac{2ax}{(x-2)}\leq 0

    - CASO {tex}a+1<0 {tex} per cui possiamo riscrivere la disequazione come

    \frac{2ax}{(x-2)}\geq 0

    (avendo moltiplicato per (a+1), che in questa ipotesi è una quantità negativa, abbiamo cambiato il verso della disequazione).

    -----

    Consideriamo il primo caso, in cui a>-1:

    \frac{2ax}{(x-2)}\leq 0

    Se in particolare a>0, allora possiamo passare a risolvere la disequazione

    \frac{2x}{(x-2)}\leq 0

    mentre se a è compreso tra -1 e 0 (estremi esclusi), possiamo passare a risolvere la disequazione

    \frac{2x}{(x-2)}\geq 0

    In entrambi i casi, risolvere le disequazioni che ne corrispondono non è difficile: lo faremo alla fine della discussione, con un piccolo "magheggio"...Laughing

    ------

    Consideriamo il secondo caso principale caso, in cui a<-1

    \frac{2ax}{(x-2)}\geq 0

    in tale eventualità non dobbiamo distinguere ulteriori sottocasi, perché a è negativo, quindi passiamo a risolvere

    \frac{2x}{(x-2)}\leq 0

    ------

    Ora, a prescindere da tutto, risolviamo la disequazione

    \frac{2x}{(x-2)}\geq 0

    Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore:

    NUM) x\geq 0

    DEN) x>2

    per cui la disequazione ha soluzioni

    x\leq 0\vee x>2

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    Ora, dato che le disequazioni che abbiamo ricavato dai vari casi dello studio al variare del parametro a producono disequazioni con versi diversi MA con stessa frazione a sinistra, possiamo concludere subito subito che:

    1) Se a\geq 0, la soluzione è 0\leq x< 2

    2) Se a è compreso tra -1 e 0, la soluzione è x\leq 0\vee x>2

    3) Se a< -1, la soluzione è 0\leq x< 2.

    Namasté!

     

     

    Risposta di Omega
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