Disequazioni letterali fratte?

Consideriamo la disequazione

il parametro è da considerarsi come un "numero reale non meglio precisato": come se fosse una costante (in questo c'è tutta la differenza rispetto alla variabile ).

Facciamo riferimento al metodo per le disequazioni fratte: per prima cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: guardando il denominatore, deve necessariamente essere .

Osserva che a seconda del segno della costante moltiplicativa il segno dell'intera frazione cambia. Sulla base di questo fatto, possiamo semplificarci di molto lo svolgimento distinguendo tra due diversi casi:

- CASO , per cui possiamo riscrivere la disequazione come

- CASO {tex}a+1<0 {tex} per cui possiamo riscrivere la disequazione come

(avendo moltiplicato per , che in questa ipotesi è una quantità negativa, abbiamo cambiato il verso della disequazione).

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Consideriamo il primo caso, in cui :

Se in particolare , allora possiamo passare a risolvere la disequazione

mentre se è compreso tra e (estremi esclusi), possiamo passare a risolvere la disequazione

In entrambi i casi, risolvere le disequazioni che ne corrispondono non è difficile: lo faremo alla fine della discussione, con un piccolo "magheggio"...

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Consideriamo il secondo caso principale caso, in cui

in tale eventualità non dobbiamo distinguere ulteriori sottocasi, perché è negativo, quindi passiamo a risolvere

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Ora, a prescindere da tutto, risolviamo la disequazione

Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore:

NUM)

DEN)

per cui la disequazione ha soluzioni

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Ora, dato che le disequazioni che abbiamo ricavato dai vari casi dello studio al variare del parametro producono disequazioni con versi diversi MA con stessa frazione a sinistra, possiamo concludere subito subito che:

1) Se , la soluzione è

2) Se è compreso tra e , la soluzione è 

3) Se , la soluzione è .

Namasté!