Sottospazio e sistema di generatori con parametro

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Dati tre vettori parametrici devo calcolare i valori del parametro per cui il sottospazio da essi generato ha dimensione 2, ma non so neanche da dove partire. Avete qualche suggerimento da darmi?

 

Dati i vettori

 

\mathbf{u}=(-1,h,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}=(h,-1,8) \ \ ; \ \ \mathbf{w}=(0,1,h)

 

stabilire per quali valori del parametro reale h, il sottospazio

 

L=\mbox{Span}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})

 

ha dimensione 2.

Domanda di peppone19

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'esercizio è sufficiente ricordare che il rango di una matrice A è, per definizione, la dimensione del sottospazio generato dalle righe o dalle colonne di A, cosicché i vettori

    \mathbf{u}=(-1,h,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}=(h,-1,8) \ \ ; \ \ \mathbf{w}=(0,1,h)

    generano un sottospazio vettoriale di dimensione 2 se e solo se la matrice che ha per righe (o per colonne) i tre vettori ha rango 2.

    Scriviamo la matrice le cui righe sono \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}

    A=\begin{pmatrix}\mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&h&-1 \\ h&-1&8 \\ 0&1&h\end{pmatrix}

    e calcoliamone il rango col metodo di eliminazione di Gauss.

    Sostituiamo la seconda riga con la seguente combinazione

    \\ R_2 \ \to \ hR_1+R_2 = \\ \\ = h\begin{pmatrix}-1&h&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h&-1&8\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}-h&h^2&-h\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h&-1&8\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&h^2-1&-h+8\end{pmatrix}

    così da ottenere

    A'=\begin{pmatrix}-1&h&-1 \\ 0&h^2-1&-h+8 \\ 0&1&h\end{pmatrix}

    dopodiché scambiamo la seconda riga con la terza

    A''=\begin{pmatrix}-1&h&-1 \\ 0&1&h \\ 0&h^2-1&-h+8\end{pmatrix}

    e rimpiazziamo la terza riga di A'' con la combinazione che segue

    \\ R_3 \ \to \ (1-h^2)R_2+R_3 = \\ \\ = (1-h^2)\begin{pmatrix}0&1&h\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&h^2-1&-h+8\end{pmatrix} = \\ \\ =\begin{pmatrix}0&1-h^2&h-h^3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&h^2-1&-h+8\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&-h^3+8\end{pmatrix}

    La matrice a scalini risultante è

    A'''=\begin{pmatrix}-1&h&-1 \\ 0&1&h \\ 0&0&-h^3+8\end{pmatrix}

    Il rango di una matrice è uguale al numero di righe non identicamente nulle di una matrice ridotta a scala a essa associata, dunque affinché il rango di A sia 2 dobbiamo imporre che l'ultimo elemento della terza riga di A''' sia uguale a zero

    -h^3+8=0

    Per ipotesi h è un parametro reale, per cui l'unica soluzione dell'equazione è h=2.

    In conclusione, il rango di A è 2, e quindi i vettori \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} generano un sottospazio di dimensione 2, per h=2.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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