Per determinare l'equazione della sfera in
disponendo delle coordinate di tre punti appartenenti alla sfera si può ricorrere all'equazione in forma generale
possiamo sostituire le coordinate dei punti ricavando però così solamente tre parametri sui 4. Manca una condizione, ma non è un problema: questo perché per la particolare configurazione di punti assegnata, cioè
si può vedere abbastanza facilmente che la circonferenza ha centro nell'origine
, e quindi più convenientemente possiamo sostituire le coordinate del centro nell'equazione in forma generica
essendo
, troviamo
Per quanto riguarda la retta tangente alla sfera in
, dobbiamo solo osservare che il piano di equazione
cioè, il "piano orizzontale di quota 1" è tangente alla sfera nel punto
.
Una qualsiasi retta passante per
e appartenente al piano
va quindi bene per rispondere alla seconda richiesta dell'esercizio.
Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...
Namasté!
non ho capito come faccio a capire che il raggio è unitario?
come faccio a capire che è centrato in (0,0,0)?
Perché nel caso specifico la terna dei punti
individua tre vettori ortogonali, che quindi costituiscono un riferimento dello spazio.
In questo caso non è difficile perché è immediato vedere che il punto di incontro dei raggi che congiungono il centro della sfera e i punti sulla sfera, cioè il centro della sfera, è l'origine.
La risposta alla tua domanda è, comunque: perché i tre punti individuano tre raggi perpendicolari.
Namasté!
Fermo fermo fermo: ma tu vuoi trovare la circonferenza oppure la sfera? Ho dato per scontato che con circonferenza intendessi impropriamente sfera per via dell'analogia che hai fatto con il piano euclideo....
devo trovare la circonferenza non la sfera
Ok: cominciamo da capo!
Arrivo a risponderti...
il raggio perchè è unitario?
Per determinare la circonferenza passante per i tre punti
, per prima cosa si individua una sfera passante per i tre punti. L'abbiamo già trovata:
una circonferenza passante per tre punti non allineati nello spazio è individuata, in generale, dall'intersezione tra una sfera e un piano (il piano che taglia la sfera e che passa per i tre punti considerati).
DUNQUE: avendo la sfera per i tre punti, possiamo individuare il piano passante per i tre punti
, sia esso
, e metterne l'equazione a sistema con l'equazione della sfera (il sistema, successivamente, non va risolto!).
Per individuare l'equazione del piano, possiamo prendere i due vettori
e calcolarne il prodotto vettore
Il prodotto vettore
è dato da
e ci fornisce i parametri direttori
del piano
, che possiamo scrivere in forma generica come
Quindi
per individuare
, basta imporre il passaggio per il punto
e sostituirne le coordinate nell'equazione
quindi
e in conclusione la circonferenza ha equazioni cartesiane
Namasté!
tutto chiarissimo... ma esiste una forma per calcolare il centro di una circonferenza in e^3 avendo 3 punti ?
Nel caso generale, purtroppo, non è data una formula ma con un semplice ragionamento e un paio di calcoli è possibile calcolare il centro.
Il centro
deve ppartenere al piano
che taglia la circonferenza sulla sfera, quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione del piano.
Se scriviamo l'equazione del piano in forma parametrica, abbiamo tre equazioni parametriche che esprimono le coordinate di qualsiasi punto del piano in dipendenza da due parametri (deu parametri per due dimensioni). In generale, data l'equazione cartesiana del piano, per determinare le parametriche basta assegnare a due variabili il ruolo di parametro, ad esempio ponendo
e sostituendole nell'equazione cartesiana del piano troviamo, nel caso considerato
Ora è sufficiente calcolare, con l'usuale formula per la distanza euclidea tra due punti
le distanze tra ciascuno dei tre punti
ed un generico punto del piano
dove
è un generico punto del piano
.
Imponendo
ovvero risolvendo il sistema di equazioni
riusciamo ad individuare i due valori dei parametri
che determinano il centro della circonferenza.
Namasté!
perfetto tutto chiaro grazie mille
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