Retta tangente a circonferenza passante per 3 punti in E^3

spazio affine euclideo E^3 scrivere equazione cartesiana della circonferenza Γ passante per i tre punti A=A(1,0,0), B=B(0,1,0), C=(0,0,1). Determinare la retta r tangente alla circonferenza in C.

tutto ok se non fosse per il fatto che mi trovo in E^3...

in E^2 metto a sistema l'equazione della circonferenza con i punti A,B,C 3 equazioni 3 incoglite una soluzione ma in E^3 come si fa?

grazie in anticipo per le vostre risposte

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di screative

Soluzioni

Per determinare l'equazione della sfera in $\mathbb{E}^3$ disponendo delle coordinate di tre punti appartenenti alla sfera si può ricorrere all'equazione in forma generale

possiamo sostituire le coordinate dei punti ricavando però così solamente tre parametri sui 4. Manca una condizione, ma non è un problema: questo perché per la particolare configurazione di punti assegnata, cioè

si può vedere abbastanza facilmente che la circonferenza ha centro nell'origine , e quindi più convenientemente possiamo sostituire le coordinate del centro nell'equazione in forma generica

essendo , troviamo

Per quanto riguarda la retta tangente alla sfera in , dobbiamo solo osservare che il piano di equazione

cioè, il "piano orizzontale di quota 1" è tangente alla sfera nel punto .

Una qualsiasi retta passante per e appartenente al piano va quindi bene per rispondere alla seconda richiesta dell'esercizio.

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

Namasté!

Risposta di Omega
non ho capito come faccio a capire che il raggio è unitario?

come faccio a capire che è centrato in (0,0,0)?

Risposta di screative
Perché nel caso specifico la terna dei punti individua tre vettori ortogonali, che quindi costituiscono un riferimento dello spazio.

In questo caso non è difficile perché è immediato vedere che il punto di incontro dei raggi che congiungono il centro della sfera e i punti sulla sfera, cioè il centro della sfera, è l'origine.

La risposta alla tua domanda è, comunque: perché i tre punti individuano tre raggi perpendicolari.

Namasté!

Risposta di Omega
Fermo fermo fermo: ma tu vuoi trovare la circonferenza oppure la sfera? Ho dato per scontato che con circonferenza intendessi impropriamente sfera per via dell'analogia che hai fatto con il piano euclideo....

Risposta di Omega
devo trovare la circonferenza non la sfera

Risposta di screative
Ok: cominciamo da capo! Arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
il raggio perchè è unitario?

Risposta di screative
Per determinare la circonferenza passante per i tre punti , per prima cosa si individua una sfera passante per i tre punti. L'abbiamo già trovata:

una circonferenza passante per tre punti non allineati nello spazio è individuata, in generale, dall'intersezione tra una sfera e un piano (il piano che taglia la sfera e che passa per i tre punti considerati).

DUNQUE: avendo la sfera per i tre punti, possiamo individuare il piano passante per i tre punti , sia esso $\pi$ , e metterne l'equazione a sistema con l'equazione della sfera (il sistema, successivamente, non va risolto!).

Per individuare l'equazione del piano, possiamo prendere i due vettori e calcolarne il prodotto vettore

Il prodotto vettore $(C-A)\times (C-B)$ è dato da

$(C-A)\times (C-B)=(1,1,1)$

e ci fornisce i parametri direttori del piano $\pi$ , che possiamo scrivere in forma generica come

Quindi

per individuare , basta imporre il passaggio per il punto e sostituirne le coordinate nell'equazione

$1+d=0\to d=-1$

quindi

$\pi\mbox{: }x+y+z-1=0$

e in conclusione la circonferenza ha equazioni cartesiane

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+z^2-1=0\\x+y+z-1=0\end{matrix}$

Namasté!

Risposta di Omega
tutto chiarissimo... ma esiste una forma per calcolare il centro di una circonferenza in e^3 avendo 3 punti ?

Risposta di screative
Nel caso generale, purtroppo, non è data una formula ma con un semplice ragionamento e un paio di calcoli è possibile calcolare il centro.

Il centro deve ppartenere al piano $\pi$ che taglia la circonferenza sulla sfera, quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione del piano.

Se scriviamo l'equazione del piano in forma parametrica, abbiamo tre equazioni parametriche che esprimono le coordinate di qualsiasi punto del piano in dipendenza da due parametri (deu parametri per due dimensioni). In generale, data l'equazione cartesiana del piano, per determinare le parametriche basta assegnare a due variabili il ruolo di parametro, ad esempio ponendo

e sostituendole nell'equazione cartesiana del piano troviamo, nel caso considerato

Ora è sufficiente calcolare, con l'usuale formula per la distanza euclidea tra due punti

$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

le distanze tra ciascuno dei tre punti ed un generico punto del piano $\pi$

dove è un generico punto del piano $\pi$ .

Imponendo

ovvero risolvendo il sistema di equazioni

riusciamo ad individuare i due valori dei parametri che determinano il centro della circonferenza.

Namasté!

Risposta di Omega
perfetto tutto chiaro grazie mille

Risposta di screative