Soluzioni
  • Per comprendere come risolvere il problema occorre rappresentare geometricamente la situazione.

    Consideriamo la circonferenza di diametro AB=2r, disegniamo una retta perpendicolare al diametro che intercetta la circonferenza nei punti C\ \mbox{e} \ D e tracciamo il triangolo di vertici O,\ C \ \mbox{e}\ B. L'esercizio suggerisce di attribuire all'angolo C\hat{B}O il ruolo di variabile indipendente x, pertanto C\hat{B}O=x.

    Nota: per vincoli geometrici, la variabile x appartiene all'intervallo \left[0,\frac{\pi}{2}\right].

    Il nostro obiettivo consiste nell'esplicitare la funzione

    y=\frac{CD}{AB}+\frac{CE}{EO}

    dove E è il punto di intersezione tra il prolungamento del diametro e la retta tangente la circonferenza nel punto C.

    Analizziamo il triangolo COB: esso è certamente un triangolo isoscele perché i OC\ \mbox{e} \ OB sono segmenti congruenti (sono due raggi della medesima circonferenza) e misurano entrambi r.

    OC=r \ \ \ \mbox{e} \ \ \ OB=r

    Proprio perché il triangolo è isoscele, gli angoli O\hat{C}B\ \mbox{e} \ O\hat{B}C hanno la medesima ampiezza (sono angoli alla base di un triangolo isoscele).

    O\hat{C}B=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ O\hat{B}C=x

    e inoltre

    C\hat{O}B=\pi-2x

    perché la somma degli angolo interni di un triangolo coincide con un angolo piatto. Nota l'ampiezza di C\hat{O}B, siamo in grado di determinare quella di C\hat{O}H per differenza:

    C\hat{O}B+C\hat{O}H=\pi \ \ \ \to \ \ \ C\hat{O}H=\pi-C\hat{O}B=\pi-(\pi-2x)=2x

    Teniamo da parte l'ampiezza di questo angolo e continuiamo con la trattazione.

    Il triangolo COD è isoscele, giacché i segmenti OD\ \mbox{e} \ CO sono congruenti (sono due raggi della stessa circonferenza), pertanto il diametro AB è sia mediana che bisettrice dell'angolo C\hat{O}D.

    Questo ragionamento garantisce che CD=2\cdot CH dove H è il piede dell'altezza del triangolo COD.

    In base ai teoremi trigonometrici applicati al triangolo rettangolo COH, possiamo determinare l'espressione di CH in funzione di x, avvalendoci delle funzioni seno e coseno:

    CH=OC\sin(2x)=r\sin(2x)=

    che, per le formule di duplicazione, diventa

    =2r\cos(x)\sin(x)

    per cui:

    CD=2CH=4r\cos(x)\sin(x)

    Della funzione

    y=\frac{CD}{AB}+\frac{CE}{EO}

    ci mancano i termini CE\ \mbox{e} \ EO che possiamo determinare osservando che OCE individua un triangolo rettangolo, retto in O\hat{C}E (in generale, la retta tangente a una circonferenza in suo punto è perpendicolare al raggio che congiunge il centro e il punto di tangenza).

    Sfruttando come si devono i teoremi sul triangolo rettangolo, ricaviamo la relazione:

    CE=EO\sin(A\hat{O}C)=EO\sin(2x)

     di conseguenza

    \frac{CE}{EO}=\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)

    In definitiva, l'espressione

    y=\frac{CD}{AB}+\frac{CE}{EO}

    diventa

    y=\frac{4r\cos(x)\sin(x)}{2r}+2\cos(x)\sin(x)=4\sin(x)\cos(x)\ \ \ \mbox{con} \ x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]

    Nell'ultimo passaggio, abbiamo ridotto ai minimi termini la prima frazione, dividendo numeratore e denominatore per 2r.

    A questo punto, puoi tranquillamente procedere con lo studio di funzione.

    Risposta di Ifrit
 
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