Soluzioni
  • Disegna la figura, e segui il mio ragionamento:

    chiamiamo A,B,C,D i quattro vertici del rombo, O il centro della cerchio e del rombo, OH l'altezza relativa al lato AB del triangolo rettangolo AOB ed infine poniamo x:=OAB dove OAB è l'angolo in A del triangolo AOB.

    Ricordiamo che il raggio che congiunge il punto di tangenza al centro della circonferenza è perpendicolare alla retta tangente, nel nostro caso essa individua il lato AB: ne consegue che il triangolo AHO è retto in H.

    La precedente osservazione ci permette in particolare di esprimere, mediante le note relazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli:

    OH=AO\sin{(x)}

    cioè

    AO=\frac{OH}{\sin{(x)}}=\frac{r}{\sin{(x)}}

    Una semidiagonale è andata: sappiamo ora che

    AC=\frac{2r}{\sin{(x)}}.

    Passiamo a considerare il triangolo OHB, che è un triangolo rettangolo in H. Abbiamo che

    OH=OB\sin{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}

    dove abbiamo osservato che

    OBH=\frac{\pi}{2}-x

    facendo riferimento al triangolo rettangolo AOB. Ne deduciamo che

    OH=OB\cos{(x)}

    da cui

    OB=\frac{OH}{\cos{(x)}}=\frac{r}{\cos{(x)}}

    La seconda diagonale del rombo misura quindi

    BD=\frac{2r}{\cos{(x)}}

    Dobbiamo a questo punto calcolare l'area del rombo come semiprodotto delle diagonali

    A(x)=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{2r^2}{\sin{(x)}\cos{(x)}}

    e abbiamo concluso l'esercizio.

    Namasté

    Risposta di Omega
 
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