Campo di esistenza di una potenza con base variabile

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Come trovo il dominio (campo di esistenza) di una funzione che è una potenza con base variabile?

 

f(x)=[5\cdot 7^x-7\cdot 5^x]^{-e^{2}}

 

Grazie !

Domanda di Bartez

 
Soluzioni

  • Ciao Bartez, arrivo a risponderti..

    Risposta di Omega

  • Per calcolare il dominio della funzione

    f(x)=[5\cdot 7^x-7\cdot 5^x]^{-e^{2}}

    possiamo riscrivere la funzione stessa nella forma

    f(x)=e^{\log{[5\cdot 7^x-7\cdot 5^x]^{-e^{2}}}}

    ossia, per le proprietà dei logaritmi

    f(x)=e^{-e^{2}\log{[5\cdot 7^x-7\cdot 5^x]}}

    cosicché è facile vedere che l'unica condizione da imporre concerne l'esistenza del logaritmo: dobbiamo richiedere che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero strettamente

    5\cdot 7^x-7\cdot 5^x>0

    Possiamo dividere entrambi i membri per 5^{x}, che è una quantità sempre positiva

    5\cdot \left(\frac{7}{5}\right)^x-7>0

    da cui

    \left(\frac{7}{5}\right)^x>\frac{7}{5}

    Applichiamo il logaritmo in base 7/5 ad entrambi i membri, trovando

    x>1

    Il dominio è quindi Dom(f)=(1,+\infty).

    Namasté

    Risposta di Omega
 
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