Soluzioni
  • Consideriamo l'espressione con i polinomi

    (a+b+c)(a+b-c)-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2

    Non iniziamo subito a effettuare i calcoli, prendiamoci invece il tempo necessario per analizzare i termini che la compongono: tentiamo di comprendere quali possano essere i prodotti notevoli in grado di minimizzare i passaggi.

    Si può notare ad esempio che

    (a+b+c)(a+b-c)

    è in realtà il prodotto tra la somma e la differenza dei termini (a+b)\ \mbox{e} \ c, così come

    (a-b+c)(b+c-a)

    è il prodotto tra la somma e la differenza dei termini c\ \mbox{e} \ (a-b) pertanto siamo autorizzati a esprimerli come differenza dei quadrati dei termini, secondo la regola

    (A+B)(A-B)=A^2-B^2

    Osserviamo inoltre che (a+b+c)^2 è a tutti gli effetti il quadrato di un trinomio, per cui può essere sviluppato avvalendosi dela formula

    (A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

    Dopo il breve preambolo teorico, possiamo iniziare a svolgere l'espressione.

    (a+b+c)(a+b-c)-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2=

    Sviluppiamo il primo prodotto, rivedendolo come differenza tra i quadrati di a+b\ \mbox{e} \ c

    =(a+b)^2-c^2-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2=

    Riordiniamo i termini all'interno delle parentesi tonde così da preparare la strada per l'uso del prodotto notevole sulla somma per la differenza. Nota: dovremo limitare tale prodotto tra parentesi quadre perché preceduto dal segno meno!

    =(a+b)^2-c^2-[c^2-(a-b)^2]+(a+b+c)^2=

     A questo punto sviluppiamo il quadrato del trinomio

    =(a+b)^2-c^2-[c^2-(a-b)^2]+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(\bullet)

    dopodiché esplicitiamo i quadrati dei binomi (a+b)\ \mbox{e} \ (a-b) secondo le regole

    (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2

    L'espressione diventa quindi:

    (\bullet)=a^2+b^2+2ab-c^2-[c^2-(a^2+b^2-2ab)]+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=

    Eliminiamo le parentesi tonde cambiando i segni dei termini al loro interno seguendo la regola dei segni

    =a^2+b^2+2ab-c^2-[c^2-a^2-b^2+2ab]+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=

    e ancora cancelliamo le parentesi quadre cambiando i segni dei termini che limitano

    =a^2+b^2+2ab-c^2-c^2+a^2+b^2-2ab+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=

    A questo punto non ci resta che eseguire le operazioni tra i monomi: in particolare determineremo la somma dei monomi simili, addizionando i loro coefficienti

    \\ =(1+1+1)a^2+(1+1+1)b^2+(2-2+2)ab+(-1-1+1)c^2+2ac+2bc= \\ \\ = 3a^2+3b^2+2ab-c^2+2ac+2bc

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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