Semplificare espressione di polinomi con prodotti notevoli

Question

Avrei bisogno che qualcuno svolgesse tutti i passaggi che permetto di semplificare un'espressione letterali avvalendosi dei prodotti notevoli. Io ci ho provato, ma il libro propone un risultato diverso da quello che ottengo io. Usare gli opportuni prodotti notevoli per semplificare l'espressione letterale (a+b+c)(a+b-c)-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2 Grazie mille.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo l'espressione con i polinomi (a+b+c)(a+b-c)-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2 Non iniziamo subito a effettuare i calcoli, prendiamoci invece il tempo necessario per analizzare i termini che la compongono: tentiamo di comprendere quali possano essere i prodotti notevoli in grado di minimizzare i passaggi. Si può notare ad esempio che (a+b+c)(a+b-c) è in realtà il prodotto tra la somma e la differenza dei termini (a+b) e c, così come (a-b+c)(b+c-a) è il prodotto tra la somma e la differenza dei termini c e (a-b) pertanto siamo autorizzati a esprimerli come differenza dei quadrati dei termini, secondo la regola (A+B)(A-B) = A^2-B^2 Osserviamo inoltre che (a+b+c)^2 è a tutti gli effetti il quadrato di un trinomio, per cui può essere sviluppato avvalendosi dela formula (A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC Dopo il breve preambolo teorico, possiamo iniziare a svolgere l'espressione. (a+b+c)(a+b-c)-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2 = Sviluppiamo il primo prodotto, rivedendolo come differenza tra i quadrati di a+b e c = (a+b)^2-c^2-(a-b+c)(b+c-a)+(a+b+c)^2 = Riordiniamo i termini all'interno delle parentesi tonde così da preparare la strada per l'uso del prodotto notevole sulla somma per la differenza. Nota: dovremo limitare tale prodotto tra parentesi quadre perché preceduto dal segno meno! = (a+b)^2-c^2-[c^2-(a-b)^2]+(a+b+c)^2 = A questo punto sviluppiamo il quadrato del trinomio = (a+b)^2-c^2-[c^2-(a-b)^2]+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = (•) dopodiché esplicitiamo i quadrati dei binomi (a+b) e (a-b) secondo le regole (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 e (A-B)^2 = A^2-2AB+B^2 L'espressione diventa quindi: (•) = a^2+b^2+2ab-c^2-[c^2-(a^2+b^2-2ab)]+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = Eliminiamo le parentesi tonde cambiando i segni dei termini al loro interno seguendo la regola dei segni = a^2+b^2+2ab-c^2-[c^2-a^2-b^2+2ab]+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = e ancora cancelliamo le parentesi quadre cambiando i segni dei termini che limitano = a^2+b^2+2ab-c^2-c^2+a^2+b^2-2ab+a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = A questo punto non ci resta che eseguire le operazioni tra i monomi: in particolare determineremo la somma dei monomi simili, addizionando i loro coefficienti ; = (1+1+1)a^2+(1+1+1)b^2+(2-2+2)ab+(-1-1+1)c^2+2ac+2bc = 3a^2+3b^2+2ab-c^2+2ac+2bc È fatta!