Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=e^{-x}-e^{-3x}

    il cui dominio è l'intero asse reale perché non compaiono termini che presentano patologie. Osserviamo infatti che la funzione è differenza di funzioni esponenziali, definite su \mathbb{R}:

    Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)

    Studiamo i limiti agli estremi del dominio per controllare l'esistenza di eventuali asintoti. Nel caso in esame dovremo analizzare i limiti

    \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    Cominciamo dal primo

    \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(e^{-x}-e^{-3x})=

    che si presenta nella forma indeterminata [+\infty-\infty]. Possiamo sciogliere la forma di indecisione raccogliendo il fattore e^{-x} e sfruttando le proprietà delle potenze

    =\lim_{x\to-\infty}e^{-x}(1-e^{-2x})=[+\infty\cdot(-\infty)]=-\infty

    Il risultato si ottiene applicando l'algebra degli infiniti, inoltre garantisce l'assenza dell'asintoto orizzontale sinistro, ma potrebbe presentarsi l'asintoto obliquo sinistro. Consideriamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo, definito come

    \\ m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}-e^{-3x}}{x}= \\ \\ \\ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}(1-e^{-2x})}{x}=+\infty

    Il limite è infinito perché il termine esponenziale prevale sulla potenza, dunque stiamo applicando il confronto tra infiniti.

    Poiché m non è finito allora f(x) non presenta l'asintoto obliquo sinistro.

    Analizziamo il limite per x\to+\infty che può essere calcolato tenendo conto dell'andamento della funzione esponenziale nell'intorno di -\infty

    \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\intfy}(e^{-x}-e^{-3x})=0

    Poiché il limite è 0, la funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione

    y=0

    La presenza dell'asintoto orizzontale destro garantisce l'inesistenza dell'asintoto obliquo destro, inoltre poiché f(x) è una funzione continua sull'intero asse reale, essa non ammette alcun asintoto verticale.

    Abbiamo portato a termine il nostro compito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi