Dominio e asintoti di una funzione con esponenziali

Question

Devo calcolare gli asintoti di una funzione che è differenza di funzioni esponenziali, ma ho qualche dubbio nei calcoli. Determinare il dominio e gli eventuali asintoti della funzione f(x) = e^(−x)−e^(−3x) Come faccio?

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo la funzione f(x) = e^(−x)−e^(−3x) il cui dominio è l'intero asse reale perché non compaiono termini che presentano patologie. Osserviamo infatti che la funzione è differenza di funzioni esponenziali, definite su R: Dom(f) = R = (−∞,+∞) Studiamo i limiti agli estremi del dominio per controllare l'esistenza di eventuali asintoti. Nel caso in esame dovremo analizzare i limiti lim_(x → −∞)f(x) e lim_(x → +∞)f(x) Cominciamo dal primo lim_(x → −∞)f(x) = lim_(x → −∞)(e^(−x)−e^(−3x)) = che si presenta nella forma indeterminata [+∞−∞]. Possiamo sciogliere la forma di indecisione raccogliendo il fattore e^(−x) e sfruttando le proprietà delle potenze = lim_(x → −∞)e^(−x)(1−e^(−2x)) = [+∞·(−∞)] = −∞ Il risultato si ottiene applicando l'algebra degli infiniti, inoltre garantisce l'assenza dell'asintoto orizzontale sinistro, ma potrebbe presentarsi l'asintoto obliquo sinistro. Consideriamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo, definito come ; m = lim_(x → −∞)(f(x))/(x) = lim_(x → −∞)(e^(−x)−e^(−3x))/(x) = ; lim_(x → −∞)(e^(−x)(1−e^(−2x)))/(x) = +∞ Il limite è infinito perché il termine esponenziale prevale sulla potenza, dunque stiamo applicando il confronto tra infiniti. Poiché m non è finito allora f(x) non presenta l'asintoto obliquo sinistro. Analizziamo il limite per x → +∞ che può essere calcolato tenendo conto dell'andamento della funzione esponenziale nell'intorno di−∞ lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∫fy)(e^(−x)−e^(−3x)) = 0 Poiché il limite è 0, la funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0 La presenza dell'asintoto orizzontale destro garantisce l'inesistenza dell'asintoto obliquo destro, inoltre poiché f(x) è una funzione continua sull'intero asse reale, essa non ammette alcun asintoto verticale. Abbiamo portato a termine il nostro compito!