Indipendenza del polinomio caratteristico dalla base
Buonasera, è vero che il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta e quindi dalle componenti della matrice, che sono riferite ad una base? Era una domanda che ho sentito ad un orale e non sono cosi certa che ho sentito bene.
Quello che affermi è vero, infatti sussiste il seguente teorema:
Sia 
un endomorfismo di uno spazio vettoriale reale 
di dimensione n, il polinomio caratteristico associato ad non dipende dalla base di .
La dimostrazione di questo fatto è molto semplice.
Sia 
la matrice associata all'endomorfismo. Per ogni matrice 
invertibile di ordine n, matrice di cambiamento di base, si ha che:
Per dimostrare l'uguaglianza osserva che
Scrivendo 
Dunque, se calcoliamo il determinante
Per il teorema di Binet
Poiché
si ha che
.
CVD
Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta