Soluzioni
  • Ciao Giulya arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Quello che affermi è vero, infatti sussiste il seguente teorema:

    Sia fun endomorfismo di uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, il polinomio caratteristico associato ad f non dipende dalla base di V.

    La dimostrazione di questo fatto è molto semplice.

    Sia A\in M_{n}(\mathbb{R}) la matrice associata all'endomorfismo. Per ogni matrice P invertibile di ordine n, matrice di cambiamento di base, si ha che:

    \det(A-\lambda I)= \det(P^{-1}AP-\lambda I)

    Per dimostrare l'uguaglianza osserva che

    Scrivendo I= P^{-1} I P

    Dunque, se calcoliamo il determinante

    \det(P^{-1}A P-\lambda I)= \det(P^{-1}A P -\lambda P^{-1}I P)=

    =\det(P^{-1}(A-\lambda I)P )=

    Per il teorema di Binet

    \det(P^{-1})\det(A-\lambda I)\det(P)

    Poiché

    \det(P^{-1})= \frac{1}{\det(P)}

    si ha che

    \det(P^{-1})\det(A-\lambda I)\det(P)= \det(A-\lambda I).

    CVD

    Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta

    Risposta di Ifrit
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