Indipendenza del polinomio caratteristico dalla base

Autore: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit) -
Ultimo aggiornamento:

Buonasera, è vero che il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta e quindi dalle componenti della matrice, che sono riferite ad una base? Era una domanda che ho sentito ad un orale e non sono cosi certa che ho sentito bene.

Soluzione

Quello che affermi è vero, infatti sussiste il seguente teorema:

Sia fun endomorfismo di uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, il polinomio caratteristico associato ad f non dipende dalla base di V.

La dimostrazione di questo fatto è molto semplice.

Sia A∈ M_(n)(R) la matrice associata all'endomorfismo. Per ogni matrice P invertibile di ordine n, matrice di cambiamento di base, si ha che:

det(A−λ I) = det(P^(−1)AP−λ I)

Per dimostrare l'uguaglianza osserva che

Scrivendo I = P^(−1) I P

Dunque, se calcoliamo il determinante

det(P^(−1)A P−λ I) = det(P^(−1)A P−λ P^(−1)I P) =

= det(P^(−1)(A−λ I)P) =

Per il teorema di Binet

det(P^(−1)) det(A−λ I) det(P)

Poiché

det(P^(−1)) = (1)/(det(P))

si ha che

det(P^(−1)) det(A−λ I) det(P) = det(A−λ I).

CVD

Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta

Domande della categoria Wiki - Algebra Lineare
Esercizi simili e domande correlate