Semplificare un polinomio con i prodotti notevoli

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Ho bisogno di una mano per poter semplificare un'espressione polinomiale a coefficienti fratti usando i prodotti notevoli. Ho provato a svolgerla, senza però ottenere lo stesso risultato del libro.

 

Svolgere la seguente espressione letterale con i prodotti notevoli opportuni

 

(y-(1)/(2))^3-(-(1)/(2)x-y)^3-6[y((1)/(2)x-y)^2+x(-y)^2]

 

Grazie.

Domanda di Mariaelena!

 
Soluzioni

  • Per poter semplificare l'espressione con i polinomi a coefficienti frazionari

    (y-(1)/(2))^3-(-(1)/(2)x-y)^3-6[y((1)/(2)x-y)^2+x(-y)^2] =

    bisogna innanzitutto sviluppare i cubi dei binomi

    = y^3-(3xy^2)/(2)+(3x^2y)/(4)-(x^3)/(8)-(-(x^3)/(8)-(3x^2y)/(4)-(3xy^2)/(2)-y^3)-6[y((1)/(2)x-y)^2+x(-y)^2] =

    dopodiché sviluppiamo il quadrato del binomio nelle parentesi quadre

    = y^3-(3xy^2)/(2)+(3x^2y)/(4)-(x^3)/(8)-(-(x^3)/(8)-(3x^2y)/(4)-(3xy^2)/(2)-y^3)-6[y((1)/(4)x^2-xy+y^2)+xy^2] =

    Eliminiamo la prima coppia di parentesi tonde cambiando i segni dei termini che limita seguendo la regola dei segni

    = y^3-(3xy^2)/(2)+(3x^2y)/(4)-(x^3)/(8)+(x^3)/(8)+(3x^2y)/(4)+(3xy^2)/(2)+y^3-6[y((1)/(4)x^2-xy+y^2)+xy^2] =

    A questo punto iniziamo a cancellare i termini opposti e sommiamo i termini simili

    = y^3+(3x^2y)/(2)+y^3-6[y((1)/(4)x^2-xy+y^2)+xy^2] =

    e sviluppiamo il prodotto tra il monomio e il polinomio nelle parentesi quadre: non è difficile, basta moltiplicare per y ciascun termine del polinomio

    = y^3+(3x^2y)/(2)+y^3-6[(1)/(4)x^2y-xy^2+y^3+xy^2] =

    Cancelliamo i termini opposti -xy^2 e xy^2

    = y^3+(3x^2y)/(2)+y^3-6[(1)/(4)x^2y+y^3] =

    e moltiplichiamo per -6, prestando la massima attenzione ai segni

    = y^3+(3x^2y)/(2)+y^3-(6)/(4)x^2y-6y^3 = y^3+(3x^2y)/(2)+y^3-(3)/(2)x^2y-6y^3 =

    Portiamo a termine i calcoli rimasti e scriviamo il risultato

    = (1+1-6)y^3+((3)/(2)-(3)/(2))x^2y = -4y^3

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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