Soluzioni
  • Eccoci: per semplificare l'espressione

    \left(y-\frac{1}{2}x\right)^3-\left(-\frac{1}{2}x-y\right)^3-6\left[y\left(\frac{1}{2}x-y\right)^2+x\left(-y\right)^2\right]

    innanzitutto sviluppiamo i cubi dei binomi (secondo la corrispondente regola dei prodotti notevoli)

    y^3-\frac{3}{2}xy^2+\frac{3}{4}x^2y-\frac{1}{8}x^3-\left(-y^3-\frac{3}{2}xy^2-\frac{3}{4}x^2y-\frac{1}{8}x^3\right)-6\left[y\left(\frac{1}{2}x-y\right)^2+x\left(-y\right)^2\right]

    e i quadrati dei binomi

    y^3-\frac{3}{2}xy^2+\frac{3}{4}x^2y-\frac{1}{8}x^3-\left(-y^3-\frac{3}{2}xy^2-\frac{3}{4}x^2y-\frac{1}{8}x^3\right)-6\left[y\left(\frac{1}{4}x^2-xy+y^2\right)+xy^2\right]

    Cambiamo segno ai termini della seconda parentesi

    y^3-\frac{3}{2}xy^2+\frac{3}{4}x^2y-\frac{1}{8}x^3+y^3+\frac{3}{2}xy^2+\frac{3}{4}x^2y+\frac{1}{8}x^3-6\left[y\left(\frac{1}{4}x^2-xy+y^2\right)+xy^2\right]

    Sviluppiamo il prodotto all'interno della coppia di parentesi quadre

    y^3-\frac{3}{2}xy^2+\frac{3}{4}x^2y-\frac{1}{8}x^3+y^3+\frac{3}{2}xy^2+\frac{3}{4}x^2y+\frac{1}{8}x^3-6\left[\frac{1}{4}x^2y-xy^2+y^3+xy^2\right]

    Semplifichiamo ciò che si può semplificare all'esterno della coppia di parentesi quadre, cioè  praticamente tutto

    2y^3+\frac{3}{2}x^2y-6\left[\frac{1}{4}x^2y-xy^2+y^3+xy^2\right]

    Semplifichiamo all'interno della coppia di parentesi

    2y^3+\frac{3}{2}x^2y-6\left[\frac{1}{4}x^2y+y^3\right]

    Abbiamo finito!

    -4y^3

    Namasté!

    Risposta di Omega
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