Soluzioni
  • Per poter semplificare l'espressione con i polinomi a coefficienti frazionari

    \left(y-\frac{1}{2}\right)^3-\left(-\frac{1}{2}x-y\right)^3-6\left[y\left(\frac{1}{2}x-y\right)^2+x(-y)^2\right]=

    bisogna innanzitutto sviluppare i cubi dei binomi

    =y^3-\frac{3xy^2}{2}+\frac{3x^2y}{4}-\frac{x^3}{8}-\left(-\frac{x^3}{8}-\frac{3x^2y}{4}-\frac{3xy^2}{2}-y^3\right)-6\left[y\left(\frac{1}{2}x-y\right)^2+x(-y)^2\right]=

    dopodiché sviluppiamo il quadrato del binomio nelle parentesi quadre

    =y^3-\frac{3xy^2}{2}+\frac{3x^2y}{4}-\frac{x^3}{8}-\left(-\frac{x^3}{8}-\frac{3x^2y}{4}-\frac{3xy^2}{2}-y^3\right)-6\left[y\left(\frac{1}{4}x^2-xy+y^2\right)+xy^2\right]=

    Eliminiamo la prima coppia di parentesi tonde cambiando i segni dei termini che limita seguendo la regola dei segni

    =y^3-\frac{3xy^2}{2}+\frac{3x^2y}{4}-\frac{x^3}{8}+\frac{x^3}{8}+\frac{3x^2y}{4}+\frac{3xy^2}{2}+y^3-6\left[y\left(\frac{1}{4}x^2-xy+y^2\right)+xy^2\right]=

    A questo punto iniziamo a cancellare i termini opposti e sommiamo i termini simili

    =y^3+\frac{3x^2y}{2}+y^3-6\left[y\left(\frac{1}{4}x^2-xy+y^2\right)+xy^2\right]=

    e sviluppiamo il prodotto tra il monomio e il polinomio nelle parentesi quadre: non è difficile, basta moltiplicare per y ciascun termine del polinomio

    =y^3+\frac{3x^2y}{2}+y^3-6\left[\frac{1}{4}x^2y-xy^2+y^3+xy^2\right]=

    Cancelliamo i termini opposti -xy^2 \ \mbox{e} \ xy^2

    =y^3+\frac{3x^2y}{2}+y^3-6\left[\frac{1}{4}x^2y+y^3\right]=

    e moltiplichiamo per -6, prestando la massima attenzione ai segni

    \\ =y^3+\frac{3x^2y}{2}+y^3-\frac{6}{4}x^2y-6y^3=\\ \\ \\ =y^3+\frac{3x^2y}{2}+y^3-\frac{3}{2}x^2y-6y^3=

    Portiamo a termine i calcoli rimasti e scriviamo il risultato

    =(1+1-6)y^3+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)x^2y=-4y^3

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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