Soluzioni
  • Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Essendo la funzione

    \log{\left(1-\sqrt{\frac{1-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}}\right)}

    dobbiamo imporre solamente due condizioni ("solamente" si fa per dire...Laughing):

    1) Esistenza della radice, cioè radicando maggiore-uguale a zero

    \frac{1-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}\geq 0

    Studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore, si trova

    NUMERATORE

    1-\sin{(x)}\geq 0

    Per ogni x, in quanto il seno è una funzione limitata tra [-1,+1].

    DENOMINATORE

    2+\sin{(x)}>0

    Per ogni x, ragionando esattamente come prima

    2) Esistenza del logaritmo, cioè argomento del logaritmo strettamente positivo

    Dobbiamo risolvere la disequazione

    1-\sqrt{\frac{1-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}}>0

    cioè

    \sqrt{\frac{1-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}}<1

    Dato che il secodno membro è una quantità costante, possiamo direttamente elevare al quadrato (nota che ci siamo già occupati delle C.E. della radice, ripetere il ragionamento qui sarebbe inutilmente ridondante Wink)

    \frac{1-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}<1

    Da cui

    \frac{1-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}-1<0

    denominatore comune

    \frac{1-\sin{(x)}-2-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}<0

    \frac{-1-\sin{(x)}-\sin{(x)}}{2+\sin{(x)}}<0

    Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, richiedendo che siano entrambi maggiori di zero

    NUMERATORE

    -1-2\sin{(x)}>0

    che ha soluzioni

    x\in\left(\frac{7}{6}\pi+2k\pi,\frac{11}{6}\pi+2k\pi\right)

    DENOMINATORE

    Nessun problema, è una quantità sempre positiva.

    ---

    A noi interessano le x che rendono la frazione positiva, quindi

    x\in\left(0,\frac{7}{6}\pi+2k\pi\right)\cup\left(\frac{11}{6}\pi+2k\pi,2(k+1)\pi\right)

    che è il dominio della funzione considerata.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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