Soluzioni
  • Il rango di una matrice ridotta a gradini è uguale al numero di pivot della matrice, nonché il numero di righe non identicamente nulle.

    Per calcolare il rango col metodo di eliminazione di Gauss è allora sufficiente ridurre la matrice assegnata in una matrice a gradini, per poi contare il numero di pivot.

    Scriviamo la matrice fornita dalla traccia dell'esercizio

    A=\begin{pmatrix}2&1&3&4&6 \\ -2&3&-1&5&3 \\ 6&-1&7&4&10 \\ -8&8&-6&13&5\end{pmatrix}

    e riduciamola secondo Gauss.

    Il primo elemento della prima riga è diverso da zero

    a_{11}=2 \neq 0

    Operando sulle righe di A dobbiamo annullare gli elementi della prima colonna sotto a_{11}, che sono:

    a_{21}=-2 \ \ ; \ \ a_{31}=6 \ \ ; \ \ a_{41}=-8

    Per far sì che a_{21} si annulli sostituiamo la seconda riga con la somma tra la prima e la seconda

    \\ R_2 \ \to \ R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}2&1&3&4&6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2&3&-1&5&3\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&4&2&9&9\end{pmatrix}

    Per rendere nullo l'elemento a_{31}=6 moltiplichiamo R_1 per -3, e sostituiamo la terza riga R_3 con -3R_1+R_3

    \\ R_3 \ \to \ -3R_1+R_3 = \\ \\ = -3\begin{pmatrix}2&1&3&4&6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6&-1&7&4&10\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}-6&-3&-9&-12&-18\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6&-1&7&4&10\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&-4&-2&-8&-8\end{pmatrix}

    Infine per annullare a_{41}=-8 sostituiamo la quarta riga R_4 con la somma tra il quadruplo della prima riga e R_4

    \\ R_4 \ \to \ 4R_1+R_4 = \\ \\ = 4\begin{pmatrix}2&1&3&4&6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-8&8&-6&13&5\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}8&4&12&16&24\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-8&8&-6&13&5\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&12&6&29&29\end{pmatrix}

    Il risultato delle sostituzioni è la matrice

    A'=\begin{pmatrix}2&1&3&4&6 \\ 0&4&2&9&9 \\ 0&-4&-2&-8&-8 \\ 0&12&6&29&29\end{pmatrix}

    Continuiamo la riduzione a scala annullando gli elementi della seconda colonna di A' al di sotto di a'_{22}=4. Per raggiungere l'obiettivo rimpiazziamo terza e quarta riga di A' con le seguenti combinazioni

    \\ R_3 \ \to \ R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&4&2&9&9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-4&-2&-8&-8\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&1&1\end{pmatrix} \\ \\ \\ R_4 \ \to \ -3R_2+R_4 = \\ \\ = -3\begin{pmatrix}0&4&2&9&9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&12&6&29&29\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&-12&-6&-27&-27\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&12&6&29&29\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&2&2\end{pmatrix}

    La matrice risultante è

    A''=\begin{pmatrix}2&1&3&4&6 \\ 0&4&2&9&9 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&2&2\end{pmatrix}

    che non è ancora una matrice a gradini, ma manca poco.

    Per concludere la riduzione è sufficiente eseguire la sostituzione

    \\ R_4 \ \to \ -2R_3+R_4 = \\ \\ = -2 \begin{pmatrix}0&0&0&1&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0&0&2&2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&-2&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0&0&2&2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&0&0&0\end{pmatrix}

    In definitiva, la matrice ridotta è

    \tilde{A}=\begin{pmatrix}2&1&3&4&6 \\ 0&4&2&9&9 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}

    che ha 3 pivot, per cui il rango di \tilde{A} è 3 e tale è anche il rango di A.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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