equazione nel campo complesso

Risolvere l'equazione in campo complesso:

z^3 = ((2)/(√(3)+i))^9

io sono arrivato a trovare il modulo e l'argomento di z(dopo aver razionalizzato all'interno della tonda...):

|z| = 1  

 e

arg(z) = -(π)/(6)

poi non so come continuare...

grazie

Domanda di Volpi
Soluzioni

Ciao Volpi, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

E' difficile che un'equazione con potenze di numeri complessi restituisca una sola soluzione, quindi vediamo un po' come si risolve l'esercizio. 

Si procede così:

1) esprimere il numero complesso 

w = (2)/(√(3)+i)

in forma algebrica; per farlo, "razionalizziamo" moltiplicando numeratore e denominatore per √(3)-1. Troviamo

w = (2)/(√(3)+i)(√(3)-i)/(√(3)-i) = (2√(3)-2i)/(4) = (√(3))/(2)-(1)/(2)i

2) esprimere il precedente numero complesso in forma trigonometrica: calcoliamo

|w| = √((3)/(4)+(1)/(4)) = 1

Arg(w) = arctan(((-(1)/(2))/((√(3))/(2)))) = -(π)/(6)

Ok?

Risposta di Omega

un momento ma per l'argomento non bisognerebbe fare il contrario cioè:

arg(w) = arctan(((-1)/(2))/((√(3))/(2)))   ?

Risposta di Volpi

Certamente...Laughing

Proseguiamo: a questo punto scriviamo w in forma trigonometrica:

w = cos((-(π)/(6)))+isin(((-π)/(6)))

cioè

w = cos(((π)/(6)))-isin(((π)/(6)))

e applichiamo la formula di De Moivre per calcolare w^9:

w^9 = cos(((9π)/(6)))-isin(((9π)/(6)))

ossia

w^9 = cos(((3π)/(2)))-isin(((3π)/(2)))

Fatto ciò, dobbiamo estrarre le tre radici cubiche di w^9 per determinare z:

z = √(w^9)

Per farlo facciamo riferimento all'apposita formula per le n radici n-esime di un numero complesso, per la quale le radici cubiche di w^9 sono date da

√(w^9) = cos((((3π)/(2)+2kπ)/(3)))-isin((((3π)/(2)+2kπ)/(3)))

con k = 0,1,2.

Riscrivendo le tre soluzioni in forma algebrica, si può ritenere concluso l'esercizio.

Namasté!

Risposta di Omega

grazie!!! 

Risposta di Volpi

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