Soluzioni
  • Ciao Volpi, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • E' difficile che un'equazione con potenze di numeri complessi restituisca una sola soluzione, quindi vediamo un po' come si risolve l'esercizio. 

    Si procede così:

    1) esprimere il numero complesso 

    w=\frac{2}{\sqrt{3}+i}

    in forma algebrica; per farlo, "razionalizziamo" moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt{3}-1. Troviamo

    w=\frac{2}{\sqrt{3}+i}\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i}=\frac{2\sqrt{3}-2i}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

    2) esprimere il precedente numero complesso in forma trigonometrica: calcoliamo

    |w|=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1

    Arg(w)=\arctan{\left(\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}=-\frac{\pi}{6}

    Ok?

    Risposta di Omega
  • un momento ma per l'argomento non bisognerebbe fare il contrario cioè:

    arg(w)=arctan\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)   ?

    Risposta di Volpi
  • Certamente...Laughing

    Proseguiamo: a questo punto scriviamo w in forma trigonometrica:

    w=\cos{\left(-\frac{\pi}{6}\right)}+i\sin{\left(\frac{-\pi}{6}\right)}

    cioè

    w=\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}-i\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}

    e applichiamo la formula di De Moivre per calcolare w^9:

    w^9=\cos{\left(\frac{9\pi}{6}\right)}-i\sin{\left(\frac{9\pi}{6}\right)}

    ossia

    w^9=\cos{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}-i\sin{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}

    Fatto ciò, dobbiamo estrarre le tre radici cubiche di w^9 per determinare z:

    z=\sqrt{w^9}

    Per farlo facciamo riferimento all'apposita formula per le n radici n-esime di un numero complesso, per la quale le radici cubiche di w^9 sono date da

    \sqrt{w^9}=\cos{\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)}-i\sin{\left(\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)}

    con k=0,1,2.

    Riscrivendo le tre soluzioni in forma algebrica, si può ritenere concluso l'esercizio.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • grazie!!! 

    Risposta di Volpi
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