Soluzioni
  • Per calcolare la distanza tra le rette sghembe r,s definite da

    \\ r:\ (x,y,z)=(t,t,t)\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ s:\ (x,y,z)=(u,0,1+u)\ \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

    indichiamo con P(t) un generico punto mobile di r

    P(t)=(P_1,P_2,P_3)=(t,t,t) \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    e con Q(u) un generico punto di s

    Q(u)=(Q_1,Q_2,Q_3)=(u,0,1+u)\ \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

    Costruiamo il vettore che congiunge P(t) con Q(u), al variare di t e u

    \\ \overrightarrow{P(t)Q(t)}=(Q_{1}-P_1,Q_2-P_2,Q_3-P_3)=\\ \\ =(u-t,-t, 1+u-t)\ \ \ \mbox{con} \ u,t\in\mathbb{R}

    Esplicitiamo i vettori direttori \mathbf{v}_{r}\ \mbox{e} \ \mathbf{v}_{s} associati alle parametrizzazioni, composti essenzialmente dai coefficienti che moltiplicano i parametri liberi.

    \\ \mathbf{v}_{r}=(l_{r},m_{r},n_{r})=(1,1,1)\\ \\ \mathbf{v}_{s}=(l_{s},m_{s},n_{s})=(1,0,1)

    Il prossimo passaggio prevede di calcolare il prodotto scalare canonico tra \overrightarrow{P(t)Q(u)} e i vettori direttori

    \\ \overrightarrow{P(t)Q(u)}\cdot\mathbf{v}_{r}=(u-t,-t,1+u-t)\cdot (1,1,1)=\\ \\ =u-t-t+1+u-t=1-3t+2u\\ \\ \mbox{e} \\ \\ \overrightarrow{P(t)Q(u)}\cdot\mathbf{v}_{s}=(u-t,-t,1+u-t)\cdot(1,0,1)= \\ \\ =u-t+1+u-t=1-2t+2u

    Impostiamo e risolviamo il sistema lineare composto dalle equazioni

    \overrightarrow{P(t)Q(u)}\cdot\mathbf{v}_{r}=0 \ \ \ , \ \ \ \overrightarrow{P(t)Q(u)}\cdot\mathbf{v}_{s}=0

    ossia

    \begin{cases}1-3t+2u=0\\ 1-2t+2u=0\end{cases}

    avvalendoci del metodo di sostituzione: dalla seconda equazione esprimiamo u in termini di t

    \begin{cases}1-3t+2u=0\\ \\ u=\dfrac{2t-1}{2}\end{cases}

    Sostituita l'espressione nella prima relazione, il sistema diventa

    \begin{cases}1-3t+2\left(\dfrac{2t-1}{2}\right)=0\\ \\ u=\dfrac{2t-1}{2}\end{cases}

    ossia

    \begin{cases}-t=0\ \ \ \to \ \ \ t=0\\ \\ u=\dfrac{2t-1}{2}\ \ \ \to \ \ \ u=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

    Il sistema è pertanto soddisfatto dalla coppia

    (t_0,u_{0})=\left(0,-\frac{1}{2}\right)

    Sostituiamo t_{0}=0 nelle coordinate del punto mobile di r

    P(0)=(x_{P},y_{P},z_{P})=(0,0,0)

    e u_{0}=-\frac{1}{2} nelle coordinate del punto mobile di s

    \\ Q\left(-\frac{1}{2}\right)=(x_{Q},y_{Q},z_{Q})=\left(-\frac{1}{2},0,1-\frac{1}{2}\right)=\\ \\ \\ =\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)

    Per costruzione la distanza tra P(0)\ \mbox{e} \ Q\left(-\frac{1}{2}\right) uguaglia la distanza tra le rette sghembe r,s, per cui avvalendoci della formula della distanza tra due punti nello spazio, possiamo scrivere quanto segue:

    \\ d(r,s)=d\left(P(0),Q\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\\ \\ \\ =\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^2+(y_{Q}-y_{P})^2+(z_{Q}-z_{P})^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\left(-\frac{1}{2}-0\right)^2+(0-0)^2+\left(\frac{1}{2}-0\right)^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

    La distanza tra la retta r e la retta s vale quindi \frac{1}{\sqrt{2}}.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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