Distanza tra due rette nello spazio in forma parametrica

Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare la distanza tra due rette sghembe dello spazio di cui conoscono le rispettive rappresentazioni parametriche. Il mio professore mi ha imposto di usare il metodo dei punti mobili, che però io non ho capito.

Sia lo spazio tridimensionale in cui è stato fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano . Calcolare la distanza tra le rette sghembe di equazioni parametriche

r: (x,y,z) = (1,1,1)t con t∈R ; s: (x,y,z) = (u,0,1+u) con u∈R

Grazie.

Domanda di matteo

Soluzioni

Per calcolare la distanza tra le rette sghembe definite da
indichiamo con un generico punto mobile di
e con un generico punto di
Costruiamo il vettore che congiunge con , al variare di e
Esplicitiamo i vettori direttori associati alle parametrizzazioni, composti essenzialmente dai coefficienti che moltiplicano i parametri liberi.
Il prossimo passaggio prevede di calcolare il prodotto scalare canonico tra e i vettori direttori
Impostiamo e risolviamo il sistema lineare composto dalle equazioni
ossia
avvalendoci del metodo di sostituzione: dalla seconda equazione esprimiamo in termini di
Sostituita l'espressione nella prima relazione, il sistema diventa
ossia
Il sistema è pertanto soddisfatto dalla coppia
Sostituiamo nelle coordinate del punto mobile di
e nelle coordinate del punto mobile di
Per costruzione la distanza tra uguaglia la distanza tra le rette sghembe , per cui avvalendoci della formula della distanza tra due punti nello spazio, possiamo scrivere quanto segue:
La distanza tra la retta e la retta vale quindi .
È fatta!
Risposta di Ifrit