Continuità e derivabilità di una funzione impegnativa

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Mi aiutate con questo esercizio? Studiare continuità e derivabilità in R della funzione

 

f(x) = x^2+2x-1+(xsin(x)+x^2)/(1+√(|x|))

 

Grazie mille!

Domanda di Bartez

 
Soluzioni

  • f(x) = x^2+2x-1+(xsin(x)+x^2)/(1+√(|x|))

    La funzione è continua nel suo dominio, R, in quanto è composizione di funzioni continue.

    Per quanto riguarda la derivabilità della funzione, la questione è un po' più delicata.

    Osserviamo che:

    f(x) = x^2+2x-1+(xsin(x)+x^2)/(1+√(-x)) se x < 0 ; x^2+2x-1+(xsin(x)+x^2)/(1+√(x)) se x ≥ 0

    Per x < 0 e per x > 0 la funzione è derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

    Il problema sorge in zero, in cui abbiamo un "punto di raccordo", x = 0

    Per dimostrare la derivabilità in zero procediamo con il limite del rapporto incrementale destro e sinistro in zero, se entrambi i limiti sono finiti e coincidono allora la funzione è derivabile anche in 0:

    lim_(h → 0^+)(f(0+h)-f(0))/(h) =

    lim_(h → 0^+)(f(h)-f(0))/(h) =

    lim_(h → 0^+)(h^2+2h-1+(hsin(h)+h^2)/(1+√(h))-1)/(h) =

    lim_(h → 0^+)(h^2+2h+(hsin(h)+h^2)/(1+√(h)))/(h) =

    Mettendo in evidenza h:

    lim_(h → 0^+)h(h+2+(sin(h)+h)/(1+√(h)))/(h) =

    semplificando:

    lim_(h → 0^+)h+2+(sin(h)+h)/(1+√(h)) = 2

    Procediamo ora col calcolo del limite sinistro:

    lim_(h → 0^-)(f(0+h)-f(0))/(h) =

    lim_(h → 0^-)(f(h)-f(0))/(h) =

    lim_(h → 0^-)(h^2+2h-1+(hsin(h)+h^2)/(1+√(-h))-1)/(h) =

    lim_(h → 0^-)(h^2+2h+(hsin(h)+h^2)/(1+√(-h)))/(h) =

    Mettendo in evidenza h:

    lim_(h → 0^-)h(h+2+(sin(h)+h)/(1+√(-h)))/(h) =

    semplificando:

    lim_(h → 0^-)h+2+(sin(h)+h)/(1+√(-h)) = 2

    Il limite destro e sinistro sono finiti e coincidono quindi la funzione è derivabile anche in 0. 

    In conclusione la funzione è continua e derivabile su tutto l'insieme dei numeri reali.

    Risposta di Ifrit
 
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