Soluzioni
  • Ciao francescaV

     

    \int{2x\sqrt {x^2+3}dx}

     

    2x è proprio la derivata dell'argomento all'interno della radice, la derivata che si ottiene derivando una funzione composta:

     

    \frac{d(x^2+3)}{dx}=2x

     

    proprio per questo motivo il risultato dell'integrale è

     

    \frac{2}{3}(x^2+3)^{\frac{3}{2}}

     

    L'altro ragionamento che puoi fare, se questo della funzione composta non ti convince è questo:

    risolvere l'integrale

     

    \int{2x\sqrt {x^2+3}dx}

     

    è equivalente a domandarsi: quale funzione ha come derivata 2x\sqrt {x^2+3}\mbox{ } ?

     

    Bè la risposta ancora una volta è la nostra soluzione, proviamo a derivare esplicitamente (2/3)(x2+3):

     

    \frac{d(\frac{2}{3}(x^2+3)^{\frac{2}{3}})}{dx}=\frac{2}{3}\frac{(x^2+3)^{\frac{2}{3}})}{dx}

     

    =\frac{2}{3}\frac{3}{2}(x^2+3)^{\frac{1}{2}}\cdot 2x=(x^2+3)^{\frac{1}{2}}\cdot 2x

     

    Qui si dovrebbe vedere come il 2x non sparisce, ma è da considerarsi derivata interna della funzione integranda, è proprio il fatto che ci sia 2x che ci permette di integrare come abbiamo fatto!

    In buona sostanza si tratta di applicare una nota formula di integrazione, quella per integrande composte.

    Spero ora sia più chiaro.

    Alpha

    Risposta di Alpha
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