Soluzioni
  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Andiamo nell'ordine:

    1) per quanto riguarda la dimostrazione del fatto che il sottoinsieme S generato dai vettori v_1,...,v_n\in V è un sottospazio vettoriale di V deriva direttamente dalla definizione di sottospazio generato da un insieme di vettori. (Click: cos'è un sistema di generatori?)

    Il sottoinsieme generato da v_1,...,v_n, che all'occorrenza si suole chiamare Span di \{v_1,...,v_n\} e talvolta si indica pure come Span(\{v_1,...,v_n\}) è per definizione un sottospazio vettoriale: in particolare , viene definito come l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori \{v_1,...,v_n\} a coefficienti nel campo \mathbb{K} su cui è definito lo spazio vettoriale V.

    In una frase

    Span(\{v_1,...,v_n\}):=\{\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i v_i}\mbox{ t.c. }\alpha_i\in\mathbb{K}\mbox{ per ogni }i=1...n\}

    ed è evidente che soddisfa le condizioni che definiscono un sottospazio di uno spazio vettoriale: è chiuso per somma e prodotto per uno scalare e contiene lo zero dello spazio.

    2) Per quanto concerne la dimensione del sottospazio generato dai vettori \{v_1,...,v_n\}, è sufficiente considerare un (il) sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti in \{v_1,...,v_n\}. Il perché è dovuto al fatto che una base di uno spazio/sottospazio, per definizione, è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio/sottospazio.

    Che un sottoinsieme massimale di vettori di \{v_1,...,v_n\}, diciamo \{v_1,...,v_k\} con k\leq n, generi i restanti vettori di \{v_1,...,v_n\}, diciamo \{v_{k+1},...,v_{n}\}, deriva direttamente dalla definizione di dipendenza lineare. Di conseguenza

    Span(\{v_1,...,v_k\})=Span(\{v_1,...,v_n\})

    inoltre v_1,...,v_k sono linearmente indipendenti, e dunque sono una base di Span(\{v_1,...,v_n\}).

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    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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