Dire se una funzione è invertibile e calcolare la controimmagine

Per dimostrare che

sia effettivamente una funzione invertibile, possiamo avvalerci del seguente risultato teorico: è invertibile se e solo se è sia una funzione iniettiva, sia una funzione suriettiva.

Osserviamo che se da un lato non possiamo fare a meno dell'iniettività di , dall'altro possiamo rilassare le pretese sulla suriettività.

Se non è suriettiva, è sufficiente restringere il codominio all'immagine della funzione stessa, garantendone così la suriettività. In altri termini, quello che conta per l'invertibilità è che la funzione sia iniettiva.

Prima di continuare con la risoluzione, è opportuno determinare il dominio della funzione: nulla di più facile, il dominio è perché il denominatore non può essere mai nullo giacché è la somma tra una quantità non negativa e una quantità positiva (1).

Fissiamo due elementi del dominio, , e consideriamo l'uguaglianza

Se ha come unica soluzione possiamo concludere che è una funzione iniettiva.

Nel caso in esame l'uguaglianza diventa

Moltiplichiamo i due membri per il prodotto dei denominatori ed eseguiamo i calcoli

Portiamo tutti i termini al primo membro

e raccogliamo parzialmente tra i primi due addendi e 4 tra gli ultimi due

Scomponiamo la differenza di cubi con la relativa regola

e infine raccogliamo totalmente il fattore comune

In base alla legge di annullamento del prodotto, l'equazione è soddisfatta nel momento in cui almeno uno dei fattori è zero, ossia se

La prima si risolve agilmente e ha come soluzione . La seconda equazione richiede invece qualche calcolo in più (leggasi molti calcoli in più).

Per prima cosa decidiamo di risolvere l'equazione rispetto a una delle incognite, ad esempio , dopodiché trattiamola come un'equazione di secondo grado nell'incognita scelta

In questo caso:

è il coefficiente di ;

è il coefficiente di ;

è il termine noto.

Calcoliamo il discriminante associato all'equazione con la formula

L'equazione di secondo grado in ammette soluzioni reali se e solo se il suo discriminante è maggiore o uguale a zero, ossia se sussiste la disequazione

Osserviamo che il primo membro è prodotto di quantità non negative e ciò garantisce che non possono essere minori di zero, tutt'al più possono essere nulli. Se imponiamo la nullità del prodotto, otteniamo che l'equazione di secondo grado in ammette soluzioni reali se e solo se

Rimpiazziamo il valore ottenuto al posto di nell'equazione di secondo grado così da ottenere

Cerchiamo di fare il punto della situazione. La definizione di funzione iniettiva ha portato all'analisi di due equazioni

le quali sono verificate se e solo se .

I passaggi algebrici permettono di concludere che soddisfa la definizione di funzione iniettiva ed è pertanto una funzione invertibile.

Dedichiamoci alla seconda richiesta dell'esercizio: dobbiamo calcolare la controimmagine di 2 mediante . Ciò equivale a determinare le soluzioni dell'equazione

Per risolvere l'equazione di grado superiore al secondo avvaliamoci della regola di Ruffini che ci permette di scomporre il polinomio al primo membro e scrivere l'equazione equivalente:

In base alla legge di annullamento, tale prodotto è zero se e solo se

La prima equazione ha per soluzione , mentre la seconda non ha soluzioni reali perché il discriminante associato è negativo. Possiamo pertanto concludere che la controimmagine di 2 mediante la funzione è 1, ossia .