Soluzioni
  • Per dimostrare che

    f(x)=\frac{4x^3}{x^2+1}

    sia effettivamente una funzione invertibile, possiamo avvalerci del seguente risultato teorico: f(x) è invertibile se e solo se è sia una funzione iniettiva, sia una funzione suriettiva.

    Osserviamo che se da un lato non possiamo fare a meno dell'iniettività di f(x), dall'altro possiamo rilassare le pretese sulla suriettività.

    Se f(x) non è suriettiva, è sufficiente restringere il codominio all'immagine della funzione stessa, garantendone così la suriettività. In altri termini, quello che conta per l'invertibilità è che la funzione sia iniettiva.

    Prima di continuare con la risoluzione, è opportuno determinare il dominio della funzione: nulla di più facile, il dominio è Dom(f)=\mathbb{R} perché il denominatore non può essere mai nullo giacché è la somma tra una quantità non negativa (x^2) e una quantità positiva (1).

    Fissiamo due elementi del dominio, x_1\ \mbox{e} \ x_2, e consideriamo l'uguaglianza

    f(x_1)=f(x_2)

    Se ha come unica soluzione x_1=x_2 possiamo concludere che è una funzione iniettiva.

    Nel caso in esame l'uguaglianza diventa

    \frac{4x_1^3}{x_1^2+1}=\frac{4x_2^3}{x_2^2+1}

    Moltiplichiamo i due membri per il prodotto dei denominatori ed eseguiamo i calcoli

    \\ 4x_1^3(x_2^2+1)=4x_2^3 (x_1^2+1) \\ \\ 4x_1^3x_2^2+4x_1^3=4x_2^3x_1^2+4x_2^3

    Portiamo tutti i termini al primo membro

    4x_1^3x_2^2-4x_2^3x_1^2+4x_1^3-4x_2^3=0

    e raccogliamo parzialmente 4x_1^2 x_2^2 tra i primi due addendi e 4 tra gli ultimi due

    4x_1^2x_2^2(x_1-x_2)+4(x_1^3-x_2^3)=0

    Scomponiamo la differenza di cubi con la relativa regola

    4x_1^2x_2^2(x_1-x_2)+4(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=0

    e infine raccogliamo totalmente il fattore comune 4(x_1-x_2)

    4(x_1-x_2)(x_1^2x_2^2+x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=0

    In base alla legge di annullamento del prodotto, l'equazione è soddisfatta nel momento in cui almeno uno dei fattori è zero, ossia se

    \\ 4 (x_1-x_2)=0 \\ \\ \mbox{oppure se} \\ \\ x_1^2x_2^2+x_1^2+x_1x_2+x_2^2=0

    La prima si risolve agilmente e ha come soluzione x_1=x_2. La seconda equazione richiede invece qualche calcolo in più (leggasi molti calcoli in più).

    Per prima cosa decidiamo di risolvere l'equazione rispetto a una delle incognite, ad esempio x_1, dopodiché trattiamola come un'equazione di secondo grado nell'incognita scelta

    (x_2^2+1)x_1^2+x_2 x_1+x_2^2=0

    In questo caso:

    \bullet \ \ \ a=x_2^2+1 è il coefficiente di x_1^2;

    \bullet \ \ \ b=x_2 è il coefficiente di x_1;

    \bullet \ \ \ c=x_2^2 è il termine noto.

    Calcoliamo il discriminante associato all'equazione con la formula

    \\ \Delta=b^2-4ac=x_2^2-4(x_2^2+1)x_2^2= \\ \\ =x_2^2-4x_2^4-x_2^2=-3x_2^2-4x_2^4

    L'equazione di secondo grado in x_1 ammette soluzioni reali se e solo se il suo discriminante è maggiore o uguale a zero, ossia se sussiste la disequazione

    \Delta\ge 0 \ \to \ -3x_2^2-4x_2^4\ge 0\ \to \ x_2^2(3+4x_2^2)\le 0

    Osserviamo che il primo membro è prodotto di quantità non negative e ciò garantisce che non possono essere minori di zero, tutt'al più possono essere nulli. Se imponiamo la nullità del prodotto, otteniamo che l'equazione di secondo grado in x_1 ammette soluzioni reali se e solo se

    x_2=0

    Rimpiazziamo il valore ottenuto al posto di x_2 nell'equazione di secondo grado così da ottenere

    x_1^2=0 \ \to \ x_1=0

    Cerchiamo di fare il punto della situazione. La definizione di funzione iniettiva ha portato all'analisi di due equazioni

    \\ 4(x_1-x_2)=0 \ \to \ x_1=x_2 \\ \mbox{e} \\ (x_2^2+1)x_1^2+x_1x_2+x_2^2=0\ \to \ x_1=0=x_2

    le quali sono verificate se e solo se x_1=x_2.

    I passaggi algebrici permettono di concludere che f(x) soddisfa la definizione di funzione iniettiva ed è pertanto una funzione invertibile.

    Dedichiamoci alla seconda richiesta dell'esercizio: dobbiamo calcolare la controimmagine di 2 mediante f(x). Ciò equivale a determinare le soluzioni dell'equazione

    \\ f(x)=2\ \to \ \frac{4x^3}{x^2+1}=2 \ \to \ 4x^3=2(x^2+1) \\ \\ \to \ 4x^3-2x^2-2=0

    Per risolvere l'equazione di grado superiore al secondo avvaliamoci della regola di Ruffini che ci permette di scomporre il polinomio al primo membro e scrivere l'equazione equivalente:

    2(x-1)(2x^2+x+1)=0

    In base alla legge di annullamento, tale prodotto è zero se e solo se

    x-1=0\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ 2x^2+x+1=0

    La prima equazione ha per soluzione x=1, mentre la seconda non ha soluzioni reali perché il discriminante associato è negativo. Possiamo pertanto concludere che la controimmagine di 2 mediante la funzione è 1, ossia f^{-1}(2)=1.

    Risposta di Ifrit
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