Soluzioni
  • L'integrale indefinito

    \int x\arctan(x+3)dx=(\bullet)

    in cui compare l'arcotangente si risolve mediante il metodo di integrazione per parti, scegliendo come fattore finito, facile da derivare

    f(x)=\arctan(x+3)\implies f'(x)=\frac{1}{(x+3)^2+1}=\frac{1}{x^2+6x+10}

    dove per ottenere f'(x) abbiamo utilizzato la regola di derivazione della funzione composta e abbiamo tenuto conto della formula per la derivata dell'arcotangente.

    Come fattore differenziale, di cui abbiamo bisogno di una primitiva, prendiamo

    g'(x)=x\implies g(x)=\frac{x^2}{2}

    In questo caso, per ottenere g(x) basta calcolare l'integrale di una potenza.

    L'integrale diviene quindi

    \\ (\bullet)=\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\int\frac{x^2}{2(x^2+6x+10)}dx=

    che grazie alla linearità dell'integrale diventa

    =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{x^2+6x+10}dx=

    Dobbiamo risolvere l'integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore coincide con il grado del denominatore.

    Il metodo standard richiede la divisione polinomiale, qui invece procederemo con un barbatrucco: aggiungiamo e sottraiamo 6x+10

    \\ =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\int\frac{x^2+6x+10-6x-10}{x^2+6x+10}dx= \\ \\ \\ = \frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\int\left(\frac{x^2+6x+10}{x^2+6x+10}+\frac{-6x-10}{x^2+6x+10}\right)dx=

    A questo punto semplifichiamo e spezziamo l'integrale della somma come somma di integrali

    =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(\int dx+\int\frac{-6x-10}{x^2+6x+10}dx\right)=

    Il primo è un integrale fondamentale

    \\ =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1+\int\frac{-6x-10}{x^2+6x+10}dx\right)= \\ \\ \\ =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1-2\int\frac{3x+5}{x^2+6x+10}\right)dx=(\bullet \bullet)

    Per portare a casa l'esercizio è necessario ricondursi a integrali noti, e purtroppo questo integrale è davvero molto complicato. Idea! Determiniamo due costanti reali A\mbox{ e }B tali che

    3x+5=A(2x+6)+B\iff 3x+5=2Ax+6A+B

    dove 2x+6 è la derivata del denominatore. Grazie a questo trucchetto arriveremo presto al risultato. Mediante il principio di identità dei polinomi possiamo costruire il seguente sistema lineare:

    \begin{cases}2A=3\\ 6A+B=5\end{cases}

    che risolto fornisce le due costanti che stavamo cercando

    A=\frac{3}{2}, \ B=-4

    L'integrale diventa quindi

    \\ (\bullet \bullet)=\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1-2\int\frac{\frac{3}{2}(2x+6)-4}{x^2+6x+10}dx\right)= \\ \\ \\ =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1-2\int\left(\frac{\frac{3}{2}(2x+6)}{x^2+6x+10}-\frac{4}{x^2+6x+10}\right)dx\right)= \\ \\ \\ = \frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1-2\left(\int\frac{\frac{3}{2}(2x+6)}{x^2+6x+10}dx-\int\frac{4}{x^2+6x+10}dx\right)\right)= \\ \\ \\ = \frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1-2\left(\frac{3}{2}\int\frac{2x+6}{x^2+6x+10}dx-4\int\frac{1}{x^2+6x+10}dx\right)\right)=

    Il primo integrale è di tipo logaritmico perché al numeratore abbiamo esattamente la derivata del denominatore.

    Il secondo è un cosiddetto integrale con delta negativo, che può essere risolto completando il quadrato.

    =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}\left(x+c_1-2\left(\frac{3}{2}\log(|x^2+6x+10|)\right)+c_2-4\int\frac{1}{(x+3)^2+1}dx\right)=

    Osserviamo che x^2+6x+10 è un trinomio positivo e pertanto il valore assoluto all'interno del logaritmo è superfluo. L'integrale rimasto è un integrale notevole in forma generale che ha per risultato un arcotangente a meno di costanti additive

    =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{1}{2}(x-3\log(x^2+6x+10)+c_2-8\arctan(x+3)+c_3)=

    Infine, eseguendo l'ultimo prodotto otteniamo finalmente il risultato

    =\frac{x^2}{2}\arctan(x+3)-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\log(x^2+6x+10)-4\arctan(x+3)+k

    dove k è una costante reale additiva.

    Risposta di Ifrit
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