Soluzioni
  • Per studiare la posizione reciproca delle rette

    \\ r: \ \begin{cases}x-az=1 \\ y-z=a+1\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}(2-a)x-y=1-a\\ x-z=1\end{cases}

    costruiamo il sistema lineare, composto dalle equazioni cartesiane che definiscono r\ \mbox{e}\ s

    \begin{cases}x-az=1\\ y-z=a+1\\ (2-a)x-y=1-a\\ x-z=1\end{cases}

    Indicate con A e (A|\mathbf{b}) rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema, al variare dei loro ranghi possiamo distinguere i casi:

    - se 3=\mbox{rk}(A)<\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=4, allora r,s sono rette sghembe;

    - se 2=\mbox{rk}(A)<\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3, allora r,s sono rette parallele e distinte;

    - se \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3, allora r,s sono rette incidenti;

    - se \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2, allora r,s sono rette parallele e coincidenti.

    A causa del parametro a, conviene procedere in maniera leggermente differente: calcoleremo il determinante della matrice completa (A|\mathbf{b}), dopodiché ricaveremo i valori di a che lo annullano.

    Se \mbox{det}(A|\mathbf{b})\ne0, r,s sono sghembe, in caso contrario sono rette complanari.

    Calcoliamo il determinante di (A|\mathbf{b}) con la regola di Laplace, sviluppando lungo la seconda colonna

    \\ \mbox{det}(A|\mathbf{b})=\mbox{det}\left(\begin{array}{cccc}1&0&-a&1\\ 0&1&-1&a+1\\ 2-a&-1&0&1-a\\ 1&0&-1&1\end{array}\right)= \\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-a&1\\ 2-a&0&1-a\\ 1&-1&1\end{pmatrix}+\mbox{det}\begin{pmatrix}1&-a&1\\ 0&-1&a+1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =a\,\mbox{det}\begin{pmatrix}2-a&1-a\\ 1&1 \end{pmatrix}+\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1\\ 2-a&1-a\end{pmatrix}+\\ \\ +\mbox{det}\begin{pmatrix}-1&a+1\\-1&1\end{pmatrix}+\mbox{det}\begin{pmatrix}-a&1\\-1&a+1 \end{pmatrix}=\\ \\ =a-1+a+1-a-a^2=\\ \\ = a-a^2

    e chiediamoci quali sono i numeri reali a che lo annullano:

    \mbox{det}(A|\mathbf{b})=0 \ \ \ \to \ \ \ a-a^2=0

    da cui

    a=0 \ \ \ \vee \ \ \ a=1

    Possiamo affermare che se a\ne 0 e a\ne 1, le rette sono necessariamente sghembe, mentre per a=0 oppure per a=1 siamo in presenza di rette complanari e in quanto tali possono essere incidenti o ancora parallele e distinte.

    Esaminiamo singolarmente i casi rimanenti: poniamo a=0 cosicché la matrice completa (A|\mathbf{b}) diventa

    (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\ 0&1&-1&1\\ 2&-1&0&1\\ 1&0&-1&1\end{array}\right)

    Il nostro obiettivo è quello di calcolarne il rango così da rifarci allo schema precedente. A questo proposito usiamo il metodo di eliminazione di Gauss: utilizziamo le mosse elementari

    R_3\ \to \ R_3-2R_1 \ \ \ , \ \ \ R_4 \ \to \ R_4-R_1

    per annullare i termini a_{31},a_{41}

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\ 0&1&-1&1\\ 0&-1&0&-1\\ 0&0&-1&0\end{array}\right)

    la mossa

    R_3 \ \to \ R_3+R_2

    per annullare l'elemento a'_{32}

    (A|\mathbf{b})''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&-1&0\end{array}\right)

    infine usiamo la mossa

    R_{4}\ \to \ R_4-R_3

    ottenendo così la matrice a gradini

    (A|\mathbf{b})'''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right)

    Osservando che la sottomatrice A''' composta dalle prime tre colonne di (A|\mathbf{b}) è una ridotta di A, possiamo affermare che:

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3

    per cui le due rette sono incidenti. Per ricavare le coordinate del punto di intersezione di r,s basta risolvere il sistema ridotto associato ad (A|\mathbf{b})

    \begin{cases}x=1\\ y-z=1\\ -z=0\end{cases}

    soddisfatto da

    x=1,\ y=1, \ z=0

    di conseguenza il punto di intersezione è r\cap s=(1,1,0).

    Per a=1, la matrice (A|\mathbf{b}) diventa

    (A|\mathbf{b})=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&1\\ 0&1&-1&2\\ 1&-1&0&0\\ 1&0&-1&1\end{array}\right)

    Operando le mosse elementari

    R_3 \ \to \ R_3-R_1 \ \ \ ,\ \ \ R_4\ \to \ R_4-R_1

    otteniamo la matrice

    (A|\mathbf{b})'=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&1\\ 0&1&-1&2\\ 0&-1&1&-1\\ 0&0&0&0\end{array}\right)

    Usando infine la mossa

    R_3 \ \to \ R_3+R_2

    ricaviamo la matrice ridotta

    (A|\mathbf{b})''=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&1\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\end{array}\right)

    da cui deduciamo che

    2=\mbox{rk}(A)<\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3

    di conseguenza le due rette sono parallele e distinte!

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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