Calcolare un limite da sinistra
Devo calcolare un limite sinistro di una funzione fratta con delle funzioni esponenziali. Probabilmente interverrà il limite notevole dell'esponenziale
Grazie
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Per calcolare il limite sinistro
facciamo uso della definizione di logaritmo e scriviamo il denominatore nella seguente forma:
Raccogliamo totalmente il termine
al denominatore
ed applichiamo il limite notevole associato alla funzione esponenziale mediante il quale possiamo costruire la stima asintotica:
Grazie alla relazione il limite si esprime nella forma equivalente
![\lim_{x\to (-\log(4)+2)^-}\frac{e^{-2x+4}}{e^{\log(4)}\left(-x+2-\log(4)\right)}=\\ \\ \\ =\left[\frac{e^{-2(-\log(4)+2)+4}}{e^{\log(4)}\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]= \\ \\ \\ =\left[\frac{e^{2\log(4)-4+4}}{e^{\log(4)}\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]=](/images/joomlatex/8/e/8ee56c0ddec0c9690ad3b5cf4887a5bf.gif)
e invocando le proprietà dei logaritmi tale espressione diventa
![\\ =\left[\frac{e^{\log(4^2)}}{4\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]=\\ \\ \\ =\left[\frac{16}{4\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]=\left[\frac{4}{0^+}\right]](/images/joomlatex/c/6/c683af754081a7bc979d6ce1d23b8dda.gif)
Il numeratore è una quantità positiva nel passaggio al limite, mentre il denominatore è un infinitesimo di segno positivo. In accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi possiamo concludere che il limite è
e scriveremo
Abbiamo raggiunto il risultato.
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