Calcolare un limite da sinistra
Devo calcolare un limite sinistro di una funzione fratta con delle funzioni esponenziali. Probabilmente interverrà il limite notevole dell'esponenziale
Grazie
Per calcolare il limite sinistro
facciamo uso della definizione di logaritmo e scriviamo il denominatore nella seguente forma:
Raccogliamo totalmente il termine
al denominatore
ed applichiamo il limite notevole associato alla funzione esponenziale mediante il quale possiamo costruire la stima asintotica:
Grazie alla relazione il limite si esprime nella forma equivalente
![\lim_{x\to (-\log(4)+2)^-}\frac{e^{-2x+4}}{e^{\log(4)}\left(-x+2-\log(4)\right)}=\\ \\ \\ =\left[\frac{e^{-2(-\log(4)+2)+4}}{e^{\log(4)}\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]= \\ \\ \\ =\left[\frac{e^{2\log(4)-4+4}}{e^{\log(4)}\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]=](/images/joomlatex/8/e/8ee56c0ddec0c9690ad3b5cf4887a5bf.gif)
e invocando le proprietà dei logaritmi tale espressione diventa
![\\ =\left[\frac{e^{\log(4^2)}}{4\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]=\\ \\ \\ =\left[\frac{16}{4\left(-(-\log(4)+2)^-+2-\log(4)\right)}\right]=\left[\frac{4}{0^+}\right]](/images/joomlatex/c/6/c683af754081a7bc979d6ce1d23b8dda.gif)
Il numeratore è una quantità positiva nel passaggio al limite, mentre il denominatore è un infinitesimo di segno positivo. In accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi possiamo concludere che il limite è
e scriveremo
Abbiamo raggiunto il risultato.
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