Soluzioni
  • Ciao WhiteC, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per rispondere, per prima cosa consideriamo il fatto che lo spazio vettoriale dei polinomi R_3[t] di grado al più 3 è uno spazio vettoriale di dimensione 4:

    dim(R_3[t])=4

    Noi abbiamo un sistema di quattro vettori:

    R= \{1-x,1+x,x^2,1-x^3\} 

    se mostriamo che tali vettori sono linearmente indipendenti, abbiamo finito, perché costituiscono una base di R_3[t].

    Per vedere se i vettori del sistema R sono linearmente indipendenti, basta considerare la definizione: detti a,b,c,d\in\mathbb{R}, consideriamo una generica combinazione lineare degli elementi di R e la poniamo uguale a zero:

    a(1-x)+b(1+x)+cx^2+d(1-x^3)=0

    se l'unica possibilità affinché la precedente equazione sia soddosfatta è che 

    a=b=c=d=0

    allora i vettori di R sono linearmente indipendenti, e abbiamo finito.

    Riscriviamo la precedente relazione come

    (a+b+d) +(-a+b)x+cx^2-dx^3=0

    E chiediamo che

    a+b+d=0

    -a+b=0

    c=0

    d=0

    Per cui, risolvendo questo semplicissimo sistema, si vede che i vettori di R sono linearmente indipendenti, perché l'unica soluzione è a=b=c=d=0.

    R è una base di \mathbb{R}_3[t]

    Namasté!

    Risposta di Omega
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