Soluzioni
  • La definizione di equazione omogenea varia in base al contesto in cui viene presentata e, per amor di completezza, forniremo le varie interpretazioni associate all'aggettivo omogenea dando comunque il giusto background.

    Procederemo in modo graduale, definendo prima di tutto le equazioni omogenee nell'ambito delle scuole superiori, dopodiché daremo le definizioni generali di cui consigliamo la lettura esclusivamente agli studenti universitari.

    Equazione omogenea (Scuole superiori)

    Nel contesto delle equazioni esistono due diverse definizioni di equazioni omogenee non equivalenti tra loro: una - la prima che forniremo - è quella formale e riconosciuta a livello internazionale; l'altra invece proviene da una vera e propria misconcezione, così diffusa che è ormai tacitamente accettata negli ambienti scolastici, un po' meno in quelli universitari.

    Definizione formale di equazione omogenea

    Chiamiamo equazione omogenea ogni equazione polinomiale di grado n\ge 1 in una o più incognite del tipo

    \mbox{Polinomio}=0

    in cui il primo membro è un polinomio omogeneo, ossia composto da monomi che hanno il medesimo grado. Possiamo inoltre definire grado dell'equazione omogenea come il grado del polinomio che la compone.

    Esempi di equazioni omogenee

    Prima di avventurarci in ulteriori definizioni, proponiamo alcuni esempi di equazioni omogenee.

    x-3y=0

    è un'equazione omogenea di primo grado. Notiamo infatti che il polinomio al primo membro è formato da monomi di grado 1.

    \frac{1}{3} y^2 +\frac{1}{2}x y=0

    è un'equazione omogenea di secondo grado: al primo membro troviamo un polinomio omogeneo di grado 2.

    x^3+2x^2y+5y^3+3xyz=0

    è un'equazione omogenea di terzo grado, infatti i monomi che compongono il polinomio al primo membro hanno grado 3.

    x^2+1=0

    non è un'equazione omogenea: il primo membro è un polinomio non omogeneo perché x^2 è un monomio di secondo grado mentre la costante 1 è un monomio di grado zero.

    x^2+yx^2+5=0

    non è un'equazione omogenea perché il polinomio al primo membro non è omogeneo: è formato infatti dai monomi x^2, \ yx^2\ \mbox{e} \ 5 di grado 2, 3 e 0 rispettivamente.

    Equazioni omogenee notevoli

    Proponiamo ora alcune equazioni omogenee che meritano di essere menzionate e che intervengono in moltissimi campi della matematica.

    In una sola incognita le equazioni omogenee sono della forma

    Ax^n=0

    dove A è un numero reale non nullo e n è un numero naturale maggiore di zero, dette anche equazioni monomie.

    Per quanto concerne le equazioni in due incognite, sono rilevanti sia dal punto di vista teorico che pratico le:

    - equazioni omogenee di primo grado

    Ax+By=0

    in cui almeno uno tra A\ \mbox{e} \ B è non nullo, dette anche equazioni lineari omogenee;

    - equazioni omogenee di secondo grado, la cui forma normale è

    Ax^2+Bxy+Cy^2=0

    e dove almeno uno tra i numeri reali A,\ B \ \mbox{e} \ C è non nullo.

    Chiaramente possiamo aumentare il numero di incognite e ricavare ancora equazioni omogenee, a patto di mantenere l'omogeneità del polinomio al primo membro.

    Prima di proseguire evidenziamo due peculiarità che riguardano le equazioni omogenee:

    1. non sono presenti termini noti. Se ce ne fossero, verrebbe meno la definizione stessa di equazione omogenea;

    2. ammettono almeno la soluzione nulla. Se rimpiazziamo zero a ogni incognita ricaviamo un'identità.

    Equazioni omogenee in seno e coseno

    In ambito scolastico riscontriamo l'espressione equazione omogenea in due circostanze particolari: nello studio delle equazioni lineari in seno e coseno e in quello delle equazioni di secondo grado in seno e coseno.

    Un'equazione lineare in seno e coseno è omogenea se la sua forma normale è:

    A\sin(x)+B\cos(x)=0

    dove A\ \mbox{e} \ B sono due costanti reali non contemporaneamente nulle.

    Per quanto concerne la forma canonica di un'equazione di secondo grado omogenea in seno e coseno, essa è:

    A\sin^2(x)+B\sin(x)\cos(x)+C\cos^2(x)=0

    con A, \ B\ \mbox{e} \ C numeri reali non contemporaneamente nulli.

    Qualcuno potrebbe obiettare che le equazioni lineari e quelle di secondo grado in seno e coseno non rispettano la definizione: in effetti

    A\sin(x)+B\cos(x) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\sin^2(x)+B\sin(x)\cos(x)+C\cos^2(x)

    sono ben lontani dall'essere polinomi. Se però poniamo

    X=\sin(x) \ \ \ ; \ \ \ Y=\cos(x)

    l'equazione lineare in seno e coseno diventa

    A\sin(x)+B\cos(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ AX+BY=0

    mentre quella di secondo grado si tramuta in

    A\sin^2(x)+B\sin(x)\cos(x)+C\cos^2(x)=0\ \ \ \to \ \ \ AX^2+B XY +CY^2=0

    ed ecco giustificate le relative nomenclature.

    Definizione non standard di equazione omogenea

    Una delle caratteristiche delle equazioni omogenee consiste nella mancanza di termini noti ed è proprio a causa di tale peculiarità che si è diffusa una definizione alternativa - e non standard - di equazione omogenea.

    Un'equazione omogenea è un'equazione in cui il termine noto è zero. In termini più espliciti, è un'equazione in cui non compaiono termini che non dipendono dall'incognita.

    Esempi di equazioni omogenee

    La seguente equazione polinomiale

    3x^5-2x^3-4x^2+x=0

    è un'equazione omogenea, infatti tutti i suoi termini dipendono dall'incognita x, mentre

    3x^5-2x^3-4x^2+x-7=0

    è un'equazione non omogenea in quanto compare il termine noto -7.

    Equazione omogenea associata

    Seguendo la definizione non standard, possiamo definire la nozione di equazione omogenea associata.

    Data una qualsiasi equazione non omogenea, chiamiamo equazione omogenea associata l'equazione che si ottiene trascurando il termine noto di quella data.

    Ad esempio

    3x^2+2x=0

    è l'equazione omogenea associata a

    3x^2+2x+16=0

    Osserviamo che le equazioni omogenee polinomiali, ossia le equazioni della forma

    P(x)=0

    dove P(x) è un polinomio nell'incognita x con termine noto nullo, ammettono sempre come soluzione x=0. Infatti tali equazioni saranno del tipo

    a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x=0

    ragion per cui si può raccogliere a fattore comune il termine x

    x(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+...+a_2x+a_1)=0

    da cui x=0 è una soluzione dell'equazione, in virtù della legge di annullamento del prodotto.

    Se sei uno studente delle scuole superiori, fermati qui. L'ultima parte è dedicata esclusivamente agli studenti universitari.

    Definizione di equazione omogenea (per universitari)

    Nell'ambito universitario, e in particolare nei corsi di laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria, la definizione di equazione omogenea viene proposta nella sua forma più generale ed estende la prima che abbiamo fornito. Essa si appoggia al concetto di applicazione omogenea tra due spazi vettoriali.

    Dati due spazi vettoriali V\ \mbox{e}\  W definiti su un campo \mathbb{K}, diremo che

    F:V\to W

    è un'applicazione omogenea di grado k\in\mathbb{Z} se e solo se F verifica l'uguaglianza

    F(a\vec{v})=a^k F(\vec{v})

    per ogni scalare a\in\mathbb{K} e per ogni vettore \vec{v}\in V.

    Con la nozione introdotta possiamo descrivere formalmente un'equazione omogenea.

    F(\vec{v})=0

    è un'equazione omogenea di grado k\in\mathbb{Z} se e solo se F(\vec{v}) è un'applicazione omogenea di grado k.

    Esempi

    Ax+By=0

    è un'equazione omogenea di grado uno, infatti l'applicazione

    F(x,y)=Ax+By

    è omogenea di primo grado:

    F(a x, a y)=A(ax)+B(a y)=a(Ax+By)=a F(x,y)

    per ogni (x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \mbox{e} \ a\in\mathbb{R}

    Ax^2+B x y +C y^2=0

    è un esempio di equazione omogenea di grado due, infatti l'applicazione

    F(x,y)=Ax^2+Bxy+C y^2

    è omogenea di secondo grado:

    \\ F(a x, a y)=A(a x)^2+B(a x\cdot a y)+C (a y)^2=\\ \\ = a^2 Ax^2+a^2 B x y + a^2 C y^2= \\ \\ = a^2(Ax^2+Bx y+ C y^2)=\\ \\ =a^2 F(x,y)

    per ogni (x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \mbox{e} \ a\in\mathbb{R}

    Equazioni differenziali omogenee

    Il concetto di equazione omogenea interviene in due classi distinte di equazioni differenziali: le equazioni differenziali lineari omogenee e le equazioni differenziali non lineari omogenee. Iniziamo dalle prime.

    La forma normale di un'equazione differenziale lineare di ordine n\in\mathbb{N} è

    y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+...+a_n y=f(x)

    dove a_1(x), \ ...,\ a_n(x)\ \mbox{e} \ f(x) sono funzioni continue su un intervallo I.

    Se f(x) è la funzione identicamente nulla, diremo che l'equazione differenziale lineare è omogenea, di conseguenza si presenterà nella forma

    y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+...+a_n y=0

    Perché è detta equazione omogenea? La risposta risiede essenzialmente nelle proprietà di linearità della derivata. Se definiamo infatti l'operatore

    L(y)=y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_ny

    è possibile dimostrare che è un'applicazione omogenea di primo grado tra lo spazio delle funzioni n-volte derivabili con derivata continua in I - indicato con il simbolo C^{n}(I) - e lo spazio delle funzioni continue su I -  indicato solitamente con C^{0}(I).

    L'operatore L(y) infatti realizza l'uguaglianza

    L(a y)=aL(y)\ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in C^{n}(I)\ \mbox{e} \ a\in\mathbb{R}

    Nella risoluzione di un'equazione differenziale lineare

    y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_ny=f(x)

    può essere necessario studiare inoltre la cosiddetta l'equazione omogenea associata, che si ottiene rimpiazzando zero al posto della funzione nota f(x), ricavando:

    y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_ny=0

    Per quanto concerne le equazioni differenziali non lineari omogenee, la loro forma canonica è: 

    y'=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}

    dove P(x,y), \ Q(x,y) sono polinomi omogenei dello stesso grado, da qui il nome!

    Risposta di Ifrit
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