Soluzioni
  • Ciao Lucy, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Intanto posso dirti che il prcedimento che hai intrapreso è corretto: si tratta sostanzialmente di vedere se le coordinate parametriche della curva soddisfano l'equazione cartesiana di un generico piano

    ax+by+cz+d=0

    L'unico modo affinché la curva sia piana è che, sostituendo le coordinate parametriche nell'equazione del piano, risulti che l'equazione è sempre e comunque soddisfatta. Il che significa: esiste un piano tale per cui tutti i punti della curva ne soddisfano l'equazione.

    In termini un po' più rigorosi:

    a(2t + 1)+ b(t^2-1)+c(-t)+ d=0

    deve essere sempre verificata, il che vuol dire, raccogliendo rispetto ai monomi in t:

     (b)t^2+ (2a-c)t+a-b+d=0

    La curva è piana se e solo se a,b,c,d sono tali da soddisfare

    b=0

    2a-c=0

    a-b+d=0

    Studiare il rango della matrice corrispondente al sistema lineare è certamente un procedimento corretto: per risolvere il tuo dubbio, è necessario osservare che la matrice dovrà essere 4x4, perché abbiamo un vettore delle incognite [a,b,c,d]^{T}

    Studiando il rango si è in grado di capire se il precedente sistema è compatibile oppure no, grazie al teorema di Rouché Capelli (dove con compatibile si intende che ammette una e una sola soluzione oppure infinite soluzioni).

    Qui si può procedere anche per sostituzione diretta, dato che il sistema è semplice.

    ---

    In alternativa, c'è un ulteriore metodo che permette di stabilire se una curva è piana oppure sghemba, e secondo il mio parere è molto più veloce ed efficace del metodo da noi qui adottato. Te lo racconto?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Certo se è più veloce lo vedo volentieri:)!

    Namastè! ^_^ 

    Risposta di lucy
  • Ok: ti passo questo bel procedimento che pone le sue radici nella Geometria Differenziale, il bello però è che è immediato e non richiede alcuna conoscenza di Geometria Differenziale! Laughing

    Per vedere se una curva parametrica nello spazio tridimensionale è sghemba oppure no, basta controllare se il vettore binormale alla curva è costante: se sì, allora la curva è interamente contenuta in un piano.

    Come si calcola il vettore binormale alla curva? Si deriva due volte la funzione 

    \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))

    il vettore normale alla curva in un suo generico punto (x(t),y(t),z(t)) è infatti dato da

    \gamma''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))

    dopodiché si calcola il prodotto vettoriale tra il vettore tangente e il vettore normale:

    \gamma'(t)\times \gamma''(t)

    ----

    Nel nostro caso, il procedimento per risolvere l'esercizio sarebbe il seguente

    \gamma'(t)=(2,2t,-1)

    \gamma''(t)=(0,2,0)

    \gamma'(t)\times \gamma''(t)=-2i+4k

    la curva è piana. Fine... Laughing

    ----

    Risposta di Omega
  • E' davvero più semplice ed immediato, peccato però che il mio prof vuole che seguiamo solo le procedure di risoluzione da lui indicate. Ma sfrutterò questa conoscenza per un ulteriore verifica.

    Grazie mille. 

    Risposta di lucy
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