Soluzioni
  • Il nostro compito prevede di determinare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

    (x^{4n}-2x^{3n}+x^{2n}):(x^{2n}-x^{n})

    senza usare la tabella della divisione, bensì i prodotti notevoli opportuni! In questa circostanza, bisogna osservare che il polinomio dividendo, x^{4n}-2x^{3n}+x^{2n}, è in realtà lo sviluppo del quadrato di binomio (x^{2n}-x^{n})^{2}, infatti le proprietà delle potenze garantiscono che:

    \bullet \ \ \ x^{4n} è il quadrato di x^{2n}, non a caso valgono le seguenti uguaglianze

    (x^{2n})^{2}=x^{2n\cdot 2}=x^{4n}

    \bullet \ \ \ x^{2n} è il quadrato di -x^{n}

    (-x^{n})^{2}=x^{n\cdot 2}=x^{2n}

    \bullet -2x^{3n} è il doppio prodotto tra i monomi x^{2n}\ \mbox{e} \ -x^{n}

    2\cdot(x^{2n})\cdot (-x^{n})=-2x^{2n+n}=-2x^{3n}

    Alla luce di quanto riportato, possiamo tranquillamente trasformare il polinomio dividendo nel quadrato di x^{2n}-x^{n}, cosicché la divisione

    (x^{4n}-2x^{3n}+x^{2n}):(x^{2n}-x^{n})=

    diventi:

    =(x^{2n}-x^{n})^{2}:(x^{2n}-x^{n})=

    Per risolverla, usiamo la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base: la base rimane invariata, mentre l'esponente del risultato è uguale alla differenza degli esponenti degli polinomi dati.

    =(x^{2n}-x^{n})^{2-1}=x^{2n}-x^{n}

    Osservazione: poiché il dividendo è divisibile per il divisore, il resto della divisione sarà necessariamente uguale al polinomio nullo, per cui concludiamo che:

    - il polinomio quoziente è Q=x^{2n}-x^{n};

    - il polinomio resto è invece R=0.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra