Soluzioni
  • Cominciamo con i dati, chiamiamo

    \bullet\,\,C_M la lunghezza della circonferenza maggiore, di raggio r_{M};

    \bullet\,\, r_{m} la lunghezza del raggio della circonferenza minore.

    \begin{cases}C_M=42\,\pi\,\,cm\\ r_{m}=\frac{2}{3} r_{M}\\ AB=25.2\,\,cm\end{cases}

    Il nostro obiettivo è quello di determinare l'area della corona circolare, e per farlo abbiamo bisogno del raggio della circonferenza più grande e il raggio più piccolo.

    Grazie alle formule inverse del cerchio,

    r_{M}=\frac{C_{M}}{2\pi}=\frac{42\,\pi}{2\pi}\,\,cm=21\,\,cm

    Inoltre:

    r_{m}=\frac{2}{3}\cdot r_{M}=21:3\times 2=14\,\,cm

    Bene! Possiamo calcolare l'area della corona circolare con la formula:

    A_{corona}=\pi (r_{M}^2-r_{m}^2)=\pi (441-196)\,\,cm^2=245\,\,\pi\,cm^2 .

    Per la seconda parte del problema, è sufficiente fare per bene il disegno ed osservare che OAB e OA_{1}B_{1} sono triangoli isosceli che condividono l'angolo al vertice, dunque anche gli angoli alle basi dei due triangoli.

    Per il primo criterio di similitudine dei triangoli, i due triangoli sono simili, di conseguenza lati omologhi sono proporzionali. 

    Poiché il rapporto tra i raggi è \frac{2}{3} lo è anche il rapporto tra A_{1}B_{1} e AB:

    \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{2}{3}

    esprimendola sottoforma di proporzione:

    A_1B_1:AB=2:3

    A_{1}B_{1}:25.2=2:3\implies A_{1}B_1=\frac{25.2\times 2}{3}\,\,cm=16.8\,\,cm

    Ecco fatto! :)

    Risposta di Ifrit
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