Circonferenze con lo stesso centro e corona circolare

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Avrei bisogno della risoluzione per un esercizio che riguarda una corona circolare, mi aiutereste a risolverlo?

 

Due circonferenze hanno lo stesso centro. La lunghezza della circonferenza maggiore è di 42cm pi greco ed il raggio della minore è i 2/3 del raggio della circonferenza maggiore.

 

Calcola l'area della corona circolare .Considerate sulla circonferenza maggiore una corda AB lunga 25,2 cm e siano A' e B' i punti in cui i raggi OA e OB incontrano la circonferenza minore. Dimostra che i due triangoli OAB e OA'B' sono simili e calcolare la misura della corda A'B'.

Domanda di cifratonda

 
Soluzioni

  • Cominciamo con i dati, chiamiamo

    • , ,C_M la lunghezza della circonferenza maggiore, di raggio r_(M);

    • , , r_(m) la lunghezza del raggio della circonferenza minore.

    C_M = 42 ,π , ,cm ; r_(m) = (2)/(3) r_(M) ; AB = 25.2 , ,cm

    Il nostro obiettivo è quello di determinare l'area della corona circolare, e per farlo abbiamo bisogno del raggio della circonferenza più grande e il raggio più piccolo.

    Grazie alle formule inverse del cerchio,

    r_(M) = (C_(M))/(2π) = (42 ,π)/(2π) , ,cm = 21 , ,cm

    Inoltre:

    r_(m) = (2)/(3)·r_(M) = 21:3×2 = 14 , ,cm

    Bene! Possiamo calcolare l'area della corona circolare con la formula:

    A_(corona) = π (r_(M)^2-r_(m)^2) = π (441-196) , ,cm^2 = 245 , ,π ,cm^2.

    Per la seconda parte del problema, è sufficiente fare per bene il disegno ed osservare che OAB e OA_(1)B_(1) sono triangoli isosceli che condividono l'angolo al vertice, dunque anche gli angoli alle basi dei due triangoli.

    Per il primo criterio di similitudine dei triangoli, i due triangoli sono simili, di conseguenza lati omologhi sono proporzionali. 

    Poiché il rapporto tra i raggi è (2)/(3) lo è anche il rapporto tra A_(1)B_(1) e AB:

    (A_(1)B_(1))/(AB) = (2)/(3)

    esprimendola sottoforma di proporzione:

    A_1B_1:AB = 2:3

    A_(1)B_(1):25.2 = 2:3 ⇒ A_(1)B_1 = (25.2×2)/(3) , ,cm = 16.8 , ,cm

    Ecco fatto! :)

    Risposta di Ifrit
 
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