massimi e minimi relativi..

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salve a tutti...come posso studiare i massimi e minimi relativi di questa funzione??

f(x,y) = x^(4)+y^(4)-2(y-x)^(2)+3

grazie mille

Domanda di federico

 
Soluzioni

  • Bonjour Federico, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Che la funzione sia illimitata superiormente, non ci sono dubbi: basta osservare che il dominio è Dom(f) = R^2, e basta notare che sono presenti due termini quartici x^2+y^2.

    Nn sono duneuq presenti massimi assoluti; potrebbero essercene di relativi.

    Per tutto il resto: procediamo secondo il metodo standard, cioè:

    - calcolo del gradiente e dei punti stazionari

    (partial f)/(partial x)f(x,y) = 4x^3+4(y-x)

    (partial f)/(partial y)f(x,y) = 4y^3-4(y-x)

    Per determinare i punti stazionari, poniamo il gradiente nabla f(x,y) = 0: abbiamo due equazioni

    4x^3+4(y-x) = 0

    4y^3-4(y-x) = 0

    Le equazioni che derivano dall'annullamento del gradiente non ci sono di grande aiuto, a meno di non riscriverle nella forma

    x^3 = -(y-x)

    y^3 = (y-x)

    e passare quindi all'equazione

    x^3 = -y^3

    da cui segue

    x = -y

    a questo punto, sostituendo tale equazione in una delle due equazioni dell'annullamento del gradiente, ad esempio nella prima

    4x^3+4(-2x) = 0

    da cui

    x(x^2-2) = 0

    troviamo così tre punti stazionari:

    x = 0,y = 0

    x = √(2),y = -√(2)

    x = -√(2),y = √(2)

    Fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • poi come devo continuare??

    Risposta di federico

  • A questo punto bisogna calcolare la matrice Hessiana della funzione, cioè la matrice delle derivate seconde:

    H(x,y) = [12x^2-4 4 ; 4 12y^2-4]

    e valutarla nei punti stazionari precedentemente individuati:

    H(√(2),-√(2)) = [20 4 ; 4 20] = H(-√(2),√(2))

    H(0,0) = [-4 4 ; 4 -4]

    Calcolando il determinante della matrice Hessiana valutata nel punto stazionario e considerando il segno dell'elemento di posto (1,1) siamo in grado di stabilire la natura del punto stazionario:

    https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/2753-studio-dei-punti-critici-della-funzione.html

    Nel caso dei punti (√(2),-√(2)) e (-√(2),√(2)) abbiamo det > 0 e primo elemento negativo, quindi abbiamo a che fare con due punti di minimo. Nel caso di (0,0), invece, abbiamo determinante nullo, quindi il metodo della matrice Hessiana non è adeguato nel determinare la natura del punto stazionario.

    Non è difficile però vedere che il punto (0,0) è di sella: basta valutare la funzione f(x,y) lungo le direzioni (x,0) e (0,-y), per le quali troviamo

    f(x,0) = 2x^4+3

    f(0,-y) = 2y^4-8y^2+3

    e per le quali si vede che esiste una direzione per cui (0,0) è punto di minimo (la prima) e una direzione per la quale (0,0) è punto di massimo (la seconda), essendoci ridotti allo studio di due funzioni di una variabile.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok perfetto come sempre...grazie mille..

    Risposta di federico
 
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