Studio sull'esistenza delle derivate direzionali

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Come studiare l'esistenza delle derivate direzionali , al variare del aprametro \alpha>0 di:

\frac{|x|^\alpha y^4}{x^2 + y^2}+(x^2 + y^2)\ln(1+\frac{1} {x^2 +y^2})

Alla fine mi rimane un fattore col modulo che mi crea qualche problema..

 

Domanda di toyo10

 
Soluzioni

  • \frac{|x|^\alpha y^4}{x^2 + y^2}+(x^2 + y^2)\ln(1+\frac{1} {x^2 +y^2})

    Risposta di toyo10

  • Ciao Toyo10, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per rispondere alla domanda, è necessario stabilire per quali valori del parametro \alpha risulta che il limite

    \lim_{h\to 0}{\frac{f_{\alpha}(x_{0}+hv_{1},y_{0}+hv_2)-f_{\alpha}(x_0,y_0)}{h}}

    Tale limite è infatti la derivata direzionale della funzione f_{\alpha}(x,y) nel punto (x_0,y_0) lungo la direzione (v_1,v_2).

    Nella domanda non è specificato il punto in cui va effettuato il controllo, credo che il riferimento sia a (x_0,y_0)=(0,0)...

    In ogni caso, nella verifica dell'esistenza del suddetto limite, il modo migliore di procedere consiste nel passare ad un riferimento di coordinate polari: l'hai fatto?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • si per il punto dove studiare solo che passando per le coorsinate polari, come trasformerei il fratto t??

    Risposta di toyo10

  • La sostituzione avviene "a valle", cioè: riscrivi la funzione f(x,y) in un riferimento polare, poi calcoli la derivata parziale secondo la definizione. Quindi: l'incremento t o h che dir si voglia resta sempre lo stesso.

    La funzione in coordinate polari è infatti della forma

    f(\rho,\theta)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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