Soluzioni
  • Ciao Cristina, grazie per aver riaperto la domanda: arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Chiamiamo a,b le lunghezze dei due cateti del triangolo rettangolo, c la lunghezza dell'ipotenusa e sia \alpha l'ampiezza dell'angolo compreso tra il cateto di misura b e l'ipotenusa, \beta l'ampiezza dell'angolo compreso tra il cateto di misura a e l'ipotenusa. Cominciamo! :)

    Dalle relazioni tra cateti, ipotenusa e funzioni trigonometriche per triangoli rettangoli sappiamo che

    a=c\sin{(\alpha)}

    b=c\cos{(\alpha)}

    D'altra parte conosciamo il perimetro del triangolo rettangolo, e la misura dell'ipotenusa:

    c=106

    a+b+c=2p= 252

    Sostituendo le precedenti espressioni per le misure dei due cateti, otteniamo

    c(1+\sin{(\alpha)}+\cos{(\alpha)})=2p

    da cui

    1+\sin{(\alpha)}+\cos{(\alpha)}=\frac{252}{106}

    Questa uguaglianza ci fornisce una relazione tra il seno e il coseno dell'angolo \alpha; osservando ora che, grazie all'identità fondamentale della trigonometria

    \cos{(\alpha)}=\pm \sqrt{1-\sin^2{(\alpha)}}

    e osservando che \alpha è un angolo compreso tra 0 e \pi/2, prendiamo

    \cos{(\alpha)}=+\sqrt{1-\sin^2{(\alpha)}}

    Sostituendo tale relazione nella precedente è possibile determinare il valore di \sin{(\alpha)} e, dunque, quello del \cos{(\alpha)}.

    Ciò permette di calcolare la tangente di \alpha secondo la definizione di tangente di un angolo:

    \tan{(\alpha)}=\frac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}}

    e successivamente

    \tan{(\beta)}=\frac{1}{\tan{(\alpha)}}

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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