Soluzioni
  • Per ricavare i coseni direttori della retta r di equazioni

    r:\ \begin{cases}x=\sqrt{2}t\\ y=-t\\ z=-t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    è sufficiente determinare il vettore direttore associato alla rappresentazione parametrica della retta, composto dai coefficienti numerici che accompagnano il parametro t

    \mathbf{v}_{r}=(l,m,n)=(\sqrt{2},-1,-1)

    Per definizione, i coseni direttori di una retta sono i coseni degli angoli convessi che la retta forma con gli assi coordinati x,y,z e sono definite dalle relazioni:

    \\ \cos(\widehat{rx})=\frac{l}{\pm\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\\ \\ \\ \cos(\widehat{ry})=\frac{m}{\pm\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\\ \\ \\ \cos(\widehat{rz})=\frac{n}{\pm\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    Già conosciamo i valori di l,m,n

    l=\sqrt{2}, \ m=-1 ,\ n=-1

    e sostituendoli nelle precedenti uguaglianze, otteniamo:

    - il coseno degli angoli che r forma con l'asse delle ascisse

    \cos(\widehat{rx})=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}

    - il coseno degli angoli che r forma con l'asse delle ordinate

    \cos(\widehat{ry})=\pm\frac{-1}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\pm\left(-\frac{1}{2}\right)

    - il coseno degli angoli che r forma con l'asse delle quote

    \cos(\widehat{rz})=\pm\frac{-1}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\pm\left(-\frac{1}{2}\right)

    Con i valori ottenuti siamo in grado di costruire due vettori, uno considerando il segno positivo

    \\ \mathbf{v}_{r}=(\cos(\widehat{rx}),\cos(\widehat{ry}),\cos(\widehat{rz}))=\\ \\ \\ =\left(+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

    l'altro considerando il segno negativo

    \\ \mathbf{v}'_{r}(\cos(\widehat{rx}),\cos(\widehat{ry}),\cos(\widehat{rz}))=\\ \\ \\ =\left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right)

    Quale scegliere? In questa circostanza, dobbiamo orientare la retta secondo le z crescenti, per cui sceglieremo quel vettore che rende positivo il prodotto scalare canonico con il versore \mathbf{k}=(0,0,1)

    \\ \mathbf{v}_{r}\cdot\mathbf{k}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\cdot (0,0,1)= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 0+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1=-\frac{1}{2}<0

    Calcoliamo il prodotto tra \mathbf{v}_{r}'\cdot\mathbf{k}

    \\ \mathbf{v}_{r}'\cdot\mathbf{k}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},+\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right)\cdot (0,0,1)= \\ \\ \\ =-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}>0

    Dalla positività del prodotto, deduciamo che \mathbf{v}_{r}' è il vettore che fa al caso nostro: si noti infatti che è già di norma unitaria.

    \\ ||\mathbf{v}_{r}'||=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=1

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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