Angoli delle diagonali di un parallelogramma con i vettori

Salve, vorrei un chiarimento su questo esercizio sugli angoli formati dalle diagonali in un parallelogramma, definito da due vettori: dati i vettori v1=2i+3j e v2=-i+4j-k trovare gli angoli formati dalle diagonali del parallelogramma individuato dai vettori v1 v2. Ho provato a calcolare le componenti dei vettori somma v1+v2 e -v1+v2 ma nel calcolo degli angoli credo di sbagliare qualcosa.

Potete aiutarmi? Grazie mille!

Domanda di Gabry
Soluzioni

Ciao Gabry, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Chiedo scusa per il ritardo della risposta: procedere mediante la somma di vettori è corretto, perché ci permette di individuare proprio la diagonale del parallelogramma formato dai due vettori. 

Sommando

v_1 = 2i+3j

v_2 = −i+4j−k

dobbiamo sommare i coefficienti delle singole componenti rispetto alla base canonica i,j,k. Otteniamo

v_1+v_2 = i+7j−k

A questo punto non so come interpretare il testo della richiesta: bisogna sommare gli angoli formati tra le due diagonali tra loro oppure gli angoli formati dalla diagonale con i due vettori che determinano il parallelogramma?

Ad ogni modo, per calcolare l'angolo tra due vettori v,w è sufficiente fare riferimento a questa formula

cos(θ) = (v·w)/(||v||||w||)

dove · indica il prodotto scalare tra i vettori v,w e || • || indica la norma.

Namasté!

Risposta di Omega

grazie mille:), gli angoli richiesti sono quelli tra le due diagonali del parallelogramma

Risposta di Gabry

Ok, e la conferma mi è data dal fatto che ti sei prodigato nel determinare l'altra diagonale considerando la differenza tra i vettori v_1,v_2: è corretto! Laughing

Se calcoliamo

v_2−v_1

troviamo la direzione dell'altra diagonale:

v_2−v_1 = −3i+j−k

Ora calcoliamo l'angolo formato da v_1+v_2 e v_2−v_1:

cos(θ) = ((v_1+v_2)·(v_2−v_1))/(||v_1+v_2|| ||v_2−v_1||)

dove

(v_1+v_2)·(v_2−v_1) = −3+7+1 = 5

||v_1+v_2|| = √(1+49+1) = √(51)

||v_2−v_1|| = √(9+1+1) = √(11)

troviamo

cos(θ) = (5)/(√(561))

da cui

θ = arccos((5)/(√(561)))

Per l'altro angolo ci basta osservare che è supplementare a θ, quindi

ψ = π− arccos((5)/(√(561)))

Namasté!

Risposta di Omega

Grazie infinite della disponibilità:)

Risposta di Gabry

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