Soluzioni
  • Ciao Federico, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • In realtà qui non è necessario procedere nel modo canonico, cioè ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange: infatti, puoi sfruttare il vincolo e scrivere l'espressione analitica della funzione ristretta al vincolo stesso:

    f(x,y)|_{x^2+y^2=9}=\sqrt{3}+y^2-1

    cioè

    f(x,y)|_{x^2+y^2=9}=2+y^2

    In questo modo ci si riconduce ad una funzione di una variabile che ha un solo punto di minimo in y=0, cui corrispondono sulla circonferenza due punti distinti: (-3,0),(+3,0)

    Comporandosi allo stesso modo con la sostituzione y^2=9-x^2 si trova

    f(x,y)|_{x^2+y^2=9}=12-x^2

    che ha massimo in corrispondenza del punto x=0, cui corrispondono i punti della circonferenza (0,-3),(0,+3).

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi quando devo studiare sul vincolo la mia funzione in casi come questo posso sostituire direttamente e studiare la funzione di una variabile..io pensavo dovessi usare le coordinate polari..una cosa soltanto..come fai a dire che una volta sostiuito ed ottenuto  2+y^{2} hai che in zero c'è il minimo (come se già lo sapessi??) mentre quando lo fai per la x sai che è un massimo??

    Risposta di federico
  • Perché sono parabole, quindi individuare il punto di minimo o di massimo non è complicato...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi una volta trovato il punto non devo risostituirlo nella funzione di partenza e vedere il più grande e il piu piccolo valore che ottengo, ma basta studiare la funzione di una variabile che ottengo una volta fatte le sostituzioni??  scusa se insisto ma voglio capirlo bene perchè all'esami mi ha fregato già una volta..

    Risposta di federico
  • Fai bene a chiedere e insistere, non te ne devi preoccupare Wink

    Certamente: devi sostituire le coordinate dei punti nell'espressione analitica della funzione, questo se vuoi trovare i valori assunti dalla funzione di due variabili nei punti di massimo e minimo: nota che questi non sono punti stazionari, ma sono i punti che garantiscono il valore massimo/minimo della funzione sul vincolo considerato, che è un inisieme chiuso, quindi Weierstrass ci dice che "è tutto ok: esistono!".

    Ma, circa la natura dei punti stazionari, è la medesima che viene individuata dalle funzioni di una variabile ottenute valutando la funzione sul vincolo: il che non è sempre possibile, ma in casi particolari come questo lo è eccome.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok perfetto la sostituzione la faccio per vedere il valore assunto dalla funzione, però quello che mi chiedevo è: tu hai riconosciuto i punti di massimo e minimo direttamente dallo studio della funzione in una variabile al che mi chiedevo dalla sola funzione in una variabile posso dire subito che i punti che trovo sono di massimo e minimo assoluto(nei casi come questo esercizio ovviamente)?

    inoltre puoi indicarmi un modo per capire quando applicare lagrange o questo appena usato o magari le coordinate polari?

    grazie mille

    Risposta di federico
  • Per la prima delle due domande: sì. Restringere una funzione di due variabili ad una curva nel piano equivale a ridurre la funzione ad una funzione di due variabili, quindi il comportamento della funzione di una variabile è lo specchio del comportamento della funzione di due variabili limitatamente a quel vincolo.

    In generale ci sono tre modi per determinare i massimi/minimi/punti di sella di una funzione di due variabili con vincolo:

    1) Riduzione diretta sul vincolo (quello che abbiamo visto qui). Non è sempre possibile, tutto dipende dalla complessità dell'espressione analitica della funzione e del vincolo. Se si può fare, è da prediligere;

    2) Metodo delle curve di livello, per funzioni analiticamente semplici;

    3) Moltiplicatori di Lagrange, per tutto il resto.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • potresti indicarmi un link con un esempio fatto con le curve di livello grazie mille..

    Risposta di federico
  • Risposta di Omega
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