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  • Nessun problema! Wink

    Quello che cerchi lo trovi qui: tabella degli integrali impropri.

    Per quanto riguarda l'integrale improprio

    \int{\frac{e^x-3}{(x-\log{(2)})^{\frac{4}{3}}(x-\log{(3)})^{\frac{10}{7}}}dx}

    c'è il barbatrucco: osserva che l'unico problema in termini di convergenza/divergenza è dato dall'estremo destro x=\log{(3)}. Se consideriamo il numeratore, vediamo che nell'intorno di tale punto genera un infinitesimo. Cnsideriamo allora

    e^x-3

    e riscriviamolo nella forma (grazie alla definizione di logaritmo)

    e^x-e^{\log{(3)}}

    Raccogliamo un e^{\log{(3)}}

    e^{\log{(3)}}(e^{x-\log{(3)}}-1)

    e applichiamo la stima asintotica suggerita dal limite notevole dell'esponenziale

    e^{\log{(3)}}(e^{x-\log{(3)}}-1)\sim 3(x-\log{(3)})

    Quindi possamo considerare, per il teorema del confronto asintotico per integrali impropri di seconda specie

    \int{\frac{3(x-\log{(3)})}{(x-\log{(2)})^{\frac{4}{3}}(x-\log{(3)})^{\frac{10}{7}}}dx}

    ossia

    \int{\frac{3}{(x-\log{(2)})^{\frac{4}{3}}(x-\log{(3)})^{\frac{3}{7}}}dx}

    Per cui, dai valori della tabella del link di cui sopra, si vede che l'integrale improprio converge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Posso chiederti anche un'altra cosa che non ho ben capito?

     

    Quando mi trovo a dover risolvere un integrale improprio devo per prima cosa sostitutire i valori dei due estremi all'interno della funzione e vedere se per uno dei due estremi la funzione non è continua e quindi non integrabile.

    Nel momento un cui mi accorgo che la funzione non è integrbile in un estremo (mettiamo il caso che non sia infinito, ma un qualsiasi "a"), allora devo procedere in questo modo:

     

    sostituisco la "a" all'interno della funzione per tutte le incognite che non mi creano problemi di continuità, lasciando invece come incognite quelle che mi creano problemi e poi studio il limite per x che tende ad "a".

     

    È corretto questo procedimento? E se sì, non riesco a capire come mai lo sia. Surprised

    Perchè devo sostituire i valori dell'estremo per certe incognite e per altre no??

    Ho letto il post che mi hai linkato, ma non mi è comunque molto chiaro il procedimento generale!

    grazie mille,

    fuivito!

    Risposta di Fuivito
  • E' sicuramente corretto, perché il problema negli integrali impropri di tale tipo riguarda le funqioni che presentano una discontonuità di seconda specie in almeno uno dei due estremi di integrazione. Tutte le funzioni che costituiscono l'integranda e che non concorrono alla discontinuità di seconda specie non hanno particolare rilevanza dal punto di vista del comportamento asintotico, quindi non creano problemi.

    E' esattamente lo stesso comportamento che si deve tenere nel calcolo di un limite con forma di indecisione, se ci pensi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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