Soluzioni
  • Quello proposto è un integrale molto elaborato che richiede un po' di calcoli.

    La presenza del logaritmo suggerisce che il metodo adatto a risolvere l'integrale è quello di integrazione per parti.

    \int\ln(x^4+5x^3+11x^2+11x+4)dx=(\bullet)

    Prendiamo come fattore finito (facile da derivare) la funzione

    f(x)=\ln(x^4+5x^3+11x^2+11x+4)

    la cui derivata si ottiene utilizzando la regola per la derivata della funzione composta

    f'(x)=\frac{4x^3+15x^2+22x+11}{x^4+5x^3+11x^2+11x+4}

    Come fattore differenziale considereremo g'(x)=1, una cui primitiva è g(x)=x.

    Grazie alla formula di integrazione per parti

    \\ (\bullet)=x\ln(x^4+5x^3+11x^2+11x+4)-\int x\cdot\frac{4x^3+15x^2+22x+11}{x^4+5x^3+11x^2+11x+4}dx= \\ \\ \\ =x\ln(x^4+5x^3+11x^2+11x+4)-\int \frac{4x^4+15x^3+22x^2+11x}{x^4+5x^3+11x^2+11x+4}dx

    Concentriamoci sulla risoluzione dell'integrale

    I=\int\frac{4x^4+15x^3+22x^2+11x}{x^4+5x^3+11x^2+11x+4}dx

    che è a tutti gli effetti un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore

    N(x)=4x^4+15x^3+22x^2+11x

    coincide con il grado del denominatore

    D(x)=x^4+5x^3+11x^2+11x+4

    La strada standard consiste nell'effettuare la divisione tra polinomi tra N(x)\mbox{ e }D(x) così da determinare il polinomio quoziente Q(x) e il polinomio resto R(x). In questo caso si ha che

    Q(x)=4\mbox{ e }R(x)=-5x^3-22x^2-33x-16

    In base alla teoria degli integrali di funzioni razionali si ha che l'integrale I si riscrive come

    \\ I=\int\left(Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}\right)dx= \\ \\ \\ = \int\left(4+\frac{-5x^3-22x^2-33x-16}{x^4+5x^3+11x^2+11x+4}\right)dx= \\ \\ \\ =\int 4 dx+\int\frac{-16 -33 x-22 x^2-5x^3}{x^4+5x^3+11x^2+11x+4}dx

    Il primo è un integrale di facile soluzione, il secondo invece va risolto con il metodo dei fratti semplici. Scomponiamo il polinomio al denominatore con la regola di Ruffini, grazie alla quale si ha che

    x^4+5x^3+11x^2+11x+4=(1+x)^2(x^2+3x+4)

    Associamo a ciascun fattore della scomposizione il relativo fratto semplice:

    - a (1+x)^2 associamo \frac{A}{1+x}+\frac{B}{(1+x)^2};

    - a x^2+3x+4 associamo \frac{C x+D}{x^2+3x+4}.

    Il nostro obiettivo ora diventa quello di determinare le costanti A, \ B, \ C\mbox{ e }D tali che

    \frac{-16-33x-22x^2-5x^3}{(1+x)^2(x^2+3x+4)}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{(1+x)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+3x+4}

    Portiamo i membri ad avere lo stesso denominatore, eseguiamo i vari prodotti e raccogliamo parzialmente secondo le potenze di x

    \\ \frac{-5x^3-22x^2-33x-16}{(1+x)^2(x^2+3x+4)}= \\ \\ \\ =\frac{(A+C)x^3+(4A+B+2C+D)x^2+(7A+3B+C+2D)x+4A+4B+D}{(1+x)^2 (x^2+3x+4)}

    Semplifichiamo i denominatori che tanto sono uguali membro a membro, così da ottenere l'identità

    -5x^3-22x^2-33x-16=(A+C)x^3+(4A+B+2C+D)x^2+(7A+3B+C+2D)x+4A+4B+D

    Il principio di identità dei polinomi ci permette di scrivere il seguente sistema lineare:

    \begin{cases}A+C=-5\\ 4A+B+2C+D=-22 \\ 7A+3B+C+2D=-33 \\ 4A+4B+D=-16\end{cases}

    che risolto fornisce i valori di A=-2, \ B=0, \ C=-3, D=-8, coni quali possiamo esprimere l'integrale I come segue

    I=\int 4 dx+\int\left(\frac{-2}{x+1}+\frac{-3x-8}{x^2+3x+4}\right)dx= \\ \\ \\  = 4x+\int\frac{-2}{x+1}dx+\int\frac{-3x-8}{x^2+3x+4}dx

    L'integrale

    \int\frac{-2}{x+1}dx=-2\int\frac{1}{x+1}dx=

    ha per risultato un logaritmo a meno di costanti additive

    =-2\ln(|x+1|)+c_1

    mentre l'integrale

    J=\int\frac{-3x-8}{x^2+3x+4}dx=

    richiede qualche passaggio algebrico in più. Distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    =\int\left(-\frac{3x}{x^2+3x+4}-\frac{8}{x^2+3x+4}\right)dx=

    e sfruttiamo la linearità dell'integrale così da esprimere l'integrale della somma come somma di integrali e far passare le costanti moltiplicative attraverso il simbolo di integrale 

    =-3\int\frac{x}{x^2+3x+4}dx-8\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx=

    Al primo integrale moltiplichiamo e dividiamo per 2, lo facciamo perché vogliamo costruire la derivata del denominatore al numeratore.

    =-\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2+3x+4}dx-8\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx=

    Aggiungiamo e sottraiamo 3 al numeratore della prima integranda

    =-\frac{3}{2}\int\frac{2x+3-3}{x^2+3x+4}dx-8\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx=

    e spezziamo in modo intelligente

    \\ =-\frac{3}{2}\int\frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx-\frac{3}{2}\int\frac{-3}{x^2+3x+4}dx-8\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx= \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}\int\frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx+\frac{9}{2}\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx-8\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx=

    Sommiamo i due integrali che hanno la stessa integranda... In che modo? Semplice, basta sommare i loro coefficienti

    =-\frac{3}{2}\int\frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx-\frac{7}{2}\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx=

    Il primo integrale è immediato perché è nella forma notevole che riconduce ad un logaritmo

    =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\frac{7}{2}\int\frac{1}{x^2+3x+4}dx=

    L'integrale rimasto può essere risolto completando il quadrato, aggiungendo e sottraendo \frac{9}{4}

    \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\frac{7}{2}\int\frac{1}{x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+4}dx= \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\frac{7}{2}\int\frac{1}{\left(\frac{2x+3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}dx=

    A questo punto raccogliamo \frac{7}{4} al denominatore e mediante le proprietà delle potenze trasportiamo tale fattore all'interno del quadrato.

    \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\frac{7}{2}\int\frac{1}{\frac{7}{4}\left(\frac{2x+3}{2}\cdot\sqrt{\frac{4}{7}}\right)^2+1}dx= \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\frac{7}{2}\cdot\frac{4}{7}\int\frac{1}{\left(\frac{2x+3}{\sqrt{7}}\right)^2+1}dx= \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-2\int\frac{1}{\left(\frac{2x+3}{\sqrt{7}}\right)^2+1}dx=

    Al numeratore dell'integranda abbiamo bisogno della derivata del fattore \frac{2x+3}{\sqrt{7}} ossia \frac{2}{\sqrt{7}} così da ricondurci ad un integrale notevole in forma generale avente per risultato un'arcotangente a meno di costanti additive.

    Riconduciamoci a tale forma moltiplicando e dividendo per il fattore richiesto

    \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\frac{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{7}}}{\left(\frac{2x+3}{\sqrt{7}}\right)^2+1}dx= \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)-\sqrt{7}\arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{7}}\right)+k

    Finalmente abbiamo a disposizione i risultati parziali per scrivere il risultato dell'integrale di partenza

    \\ \int\ln(x^4+5x^3+11x^2+11x+4)dx= \\  \\ =x\ln(x^4+5x^3+11x^2+11x+4)-4x+2\ln(|x+1|)+

    +\frac{3}{2}\ln(|x^2+3x+4|)+\sqrt{7}\arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{7}}\right)+c

    Osserviamo che x^2+3x+4 è un trinomio positivo e dunque il valore assoluto non è necessario in \ln(x^2+3x+4).

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
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