Soluzioni
  • Ciao white arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • sei il mago/a degli integrali ahahaha

    Risposta di WhiteCell
  • \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx

    è un integrale improprio di prima specie e di seconda specie che presenta problemi in entrambi gli estremi di integrazione. La funzione integranda perde di significato per x=2. Per semplificarne  lo studio spezziamo l'integrale come somma di due integrali.

    \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx=

    =\int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx+ \int_{3}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx

    Facendo in questo modo, gli integrali scaturiti sono sempre impropri, ma almeno sono più facili da gestire.

    Se convergono entrambi gli integrali allora converge anche quello di partenza.

    Iniziamo col primo:

    \int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx

    Studieremo la convergenza col criterio del confronto asintotico per gli integrali:

    Osserviamo che:

    \lim_{x\to 2^+}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x^2-2}}}= 1

    Quindi 

    \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}\sim_{2} \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x^2-2}}

    Se converge 

    \int_{2}^3\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x^2-2}}dx

    Convergerà anche il nostro integrale di partenza.

    \int_{2}^3\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x^2-2}}dx converge (devi risolvere l'integrale, o procedere per confronto asintotico con gli integrali della tabella degli integrali impropri di confronto).

    dunque:

    \int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx

    converge.

    Per quanto riguarda l'altro integrale:

    \int_{3}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx

    Osseviamo che:

    \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}\sim_{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2}}= \frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}

    Poiché

    \int_2^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx

    è un integrale notevole convergente allora anche

    \int_{3}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x^2-2}}dx

    converge.

    l'integrale di partenza si scrive come somma di integrali convergenti quindi è convergente! :D

    Risposta di Ifrit
  • sei un mito ti ringrazio infinitamente, grazie grazie grazie. tvb

    Risposta di WhiteCell
 
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