Soluzioni
  • Ciao anche a te Cristina, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per prima cosa, disegna la figura e segui il ragionamento.

    L'angolo DAB misura 60°, quindi l'angolo CBA misura 60°, quindi essendo il triangolo ACB rettangolo abbiamo che l'angolo CAB misura 30° e quindi tale è la misura dell'angolo ACD, essendo alterno interno a CAB.

    Ne deduciamo che l'angolo ADC=DCB misura 90°+30°=120°, cosicché l'angolo DAC misura 30° essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi 180°, facendo riferimento al triangolo ADC.

    Abbiamo trovato l'intervallo di variabilità di x=DAC, che è \left(0,\frac{\pi}{6}\right), estremi esclusi.

    In riferimento al triangolo rettangolo ABC calcoliamo, grazie alle formule trigonometriche sui triangoli rettangoli

    CB=AB\sin{(CAB)}=\frac{a}{2}

    poi calcoliamo

    CA=AB\sin{(CBA)}=\frac{a\sqrt{3}}{2}

    e da qui, grazie al teorema dei seni applicato al triangolo ADP, abbiamo che

    \frac{AD}{\sin{(APD)}}=\frac{DP}{\sin{(x)}}

    ricaviamo

    DP=\frac{AD\sin{(x)}}{\sin{(60^{0}-x)}}=\frac{a}{2}\frac{\sin{(x)}}{\sin{(60^{o}-x)}}

    Allo stesso modo, calcoliamo

    \frac{AD}{\sin{(APD)}}=\frac{AP}{\sin{(120^{o})}}

    da cui

    AP=\frac{AD\sin{(120^{o})}}{\sin{(60^{0}-x)}}=\frac{a}{2}\frac{\sin{(120^{o})}}{\sin{(60^{o}-x)}}

    E' tutto chiaro fin qui?

    Risposta di Omega
  • sisi tutto chiaro grazie mille

    Risposta di cristina
  • Ok: ora non resta che scrivere la funzione f(x) perimetro

    f(x)=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\frac{\sin{(x)}}{\sin{(60^{o}-x)}}+\frac{a}{2}\frac{\sin{(120^{o})}}{\sin{(60^{o}-x)}}

    e considerare la disequazione

    f(x)\geq \frac{a}{4}

    ossia

    \frac{a}{2}+\frac{a}{2}\frac{\sin{(x)}}{\sin{(60^{o}-x)}}+\frac{a}{2}\frac{\sin{(120^{o})}}{\sin{(60^{o}-x)}}\geq \frac{a}{4}

    Essendo a la misura della base, è una quantità costante e positiva e dunque possiamo semplificarla:

    1+\frac{\sin{(x)}}{\sin{(60^{o}-x)}}+\frac{\sin{(120^{o})}}{\sin{(60^{o}-x)}}\geq \frac{1}{2}

    \frac{\sin{(x)}}{\sin{(60^{o}-x)}}+\frac{\sin{(120^{o})}}{\sin{(60^{o}-x)}}\geq -\frac{1}{2}

    Questa disequazione può essere riscritta portando tutto a denominatore comune

    \frac{2\sin{(x)}+2\sin{(120^{o})}+\sin{(60^{o}-x)}}{2\sin{(60^{o}-x)}}\geq 0

    e si può risolvere studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore.

    Pensi di essere in grado di risolverla?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok si la difficoltà era più all'inizio

    Risposta di cristina
 
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