Soluzioni
  • gentilmente madariocu accetta la domanda precedente, poi penserò all'integrale. Avvertimi mi raccomando :P

    Risposta di Ifrit
  • accettata

    Risposta di madariocu
  • Cominciamo con dei semplici passaggi algebrici:

    \int \frac{\sqrt{x-4}}{4-x}dx=

    \int -\frac{\sqrt{x-4}}{x-4}dx=

    \int -\frac{(x-4)^{\frac{1}{2}}}{x-4}dx=

    -\int (x-4)^{\frac{1}{2}-1}dx=

    -\int (x-4)^{-\frac{1}{2}}dx

    L'integrale si presenta in una forma nota (vedi la tabella degli integrali fondamentali):

    \int [f(x)]^{\alpha} f'(x)dx= \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\quad \alpha\ne -1

    In questo caso \alpha= -\frac{1}{2}

    Quindi:

    -\int (x-4)^{-\frac{1}{2}}dx= -\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(x-4)^{-\frac{1}{2}+1}+c=

    -\frac{1}{\frac{1}{2}}(x-4)^{\frac{1}{2}}+c=

    -2\sqrt{x-4}+c

    Se hai domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • invece con il metodo di sostituzione come si risolve lo stesso integrale?

    intendo sostituendo la radice e il suo argomento con t

    Risposta di madariocu
  • \int \frac{\sqrt{x-4}}{4-x}dx= -\int \frac{\sqrt{x-4}}{x-4}dx

    Se vogliamo procedere con l'integrazione per sostituzione conviene porre t= x-4\implies dt = dx di conseguenza l'integrale si riscrive come:

    -\int \frac{\sqrt{t}}{t}dt= -\int \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t}dt=

    -\int t^{\frac{1}{2}-1}dt=

    -\int t^{-\frac{1}{2}}dt=

    - \frac{t^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}}+c= -2 \sqrt{t}+c

    Ma t= x-4 allora:

    -2\sqrt{t}+c= -2\sqrt{x-4}+c

    Conseguentemente:

    \int \frac{\sqrt{x-4}}{4-x}dx=-2\sqrt{x-4}+c

    Risposta di Ifrit
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