Soluzioni
  • Ciao madariocu arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Sia

    f(x)=\frac{\ln(x+3)}{x-4}

    Abbiamo bisogno della relativa formula di derivazione del quoziente:

    D\left[\frac{h(x)}{ k(x)}\right]=\frac{D[h(x)] k(x)- h(x) D[k(x)]}{(k(x))^2}

    Derivata prima:

    f'(x)= \frac{D[\ln(x+3)] (x-4)-\ln(x+3)D[x-4]}{(x-4)^2}

    Ricorda ora che:

    D[\ln(f(x))]= \frac{D[f(x)]}{f(x)}

    conseguentemente:

    D\left[\ln(x+3)\right]= \frac{1}{x+3}

    mentre

    D[x-4]= D[x]-D[4]= 1

    Quindi:

    f'(x)= \frac{\frac{(x-4)}{x+3}-\ln(x+3)}{(x-4)^2}=

    =\frac{(x-4)-(x+3)\ln(x+3)}{(x+3)(x-4)^2}

     

    Derivata seconda:

    Bisogna nuovamente usare la regola di derivazione del quoziente:

     

    f''(x)= \frac{\left(1-\left[\ln(x+3)+\frac{x+3}{x+3}\right]\right)(x+3)(x-4)^2- [(x-4)-(x+3)\ln(x+3)] \left[(x-4)^2+2(x+3)(x-4)\right]}{(x+3)^2(x-4)^4}

     

    f''(x)= \frac{\left(-\ln(x+3)\right)(x+3)(x-4)^2- (x-4) [(x-4)-(x+3)\ln(x+3)] \left[(x-4)+2(x+3)\right]}{(x+3)^2(x-4)^4}=

    f''(x)= \frac{(x-4)\left\{\left(-\ln(x+3)\right)(x+3)(x-4)- [(x-4)-(x+3)\ln(x+3)] \left[(x-4)+2(x+3)\right]\right\}}{(x+3)^2(x-4)^4}=

    f''(x)= \frac{\left(-\ln(x+3)\right)(x+3)(x-4)- [(x-4)-(x+3)\ln(x+3)] \left[(x-4)+2(x+3)\right]}{(x+3)^2(x-4)^3}=

     

    f''(x)= \frac{\left(-\ln(x+3)\right)(x+3)(x-4)- [(x-4)-(x+3)\ln(x+3)] \left[3x+2\right]}{(x+3)^2(x-4)^3}=

     

    A questo punto sono solo conti

    Dovresti ottenere:

    \frac{8+10x-3x^2+18 \ln(x+3)+12x\ln(x+3)+2x^2\ln(x+3)}{(x-4)^3 (x+3)^2}

    Risposta di Ifrit
  • Mi spiace, la derivata seconda è uscita fuori dai margini a causa della lunghezza della formula... Tra l'altro non posso nemmeno correggere...  EmbarassedEmbarassed

    Risposta di Ifrit
 
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