Calcolare derivata prima e derivata seconda di una funzione fratta

Scusate come si trovano la derivata prima e la derivata seconda della seguente funzione?

f(x) = [log(x+3)] / (x-4)

Domanda di madariocu
Soluzioni

Ciao madariocu arrivo :D

Risposta di Ifrit

Sia

f(x) = (ln(x+3))/(x-4)

Abbiamo bisogno della relativa formula di derivazione del quoziente:

D[(h(x))/(k(x))] = (D[h(x)] k(x)-h(x) D[k(x)])/((k(x))^2)

Derivata prima:

f'(x) = (D[ln(x+3)] (x-4)-ln(x+3)D[x-4])/((x-4)^2)

Ricorda ora che:

D[ln(f(x))] = (D[f(x)])/(f(x))

conseguentemente:

D[ln(x+3)] = (1)/(x+3)

mentre

D[x-4] = D[x]-D[4] = 1

Quindi:

f'(x) = ((x-4)/(x+3)-ln(x+3))/((x-4)^2) =

= ((x-4)-(x+3)ln(x+3))/((x+3)(x-4)^2)

Derivata seconda:

Bisogna nuovamente usare la regola di derivazione del quoziente:

f''(x) = ((1-[ln(x+3)+(x+3)/(x+3)])(x+3)(x-4)^2-[(x-4)-(x+3)ln(x+3)] [(x-4)^2+2(x+3)(x-4)])/((x+3)^2(x-4)^4)

f''(x) = ((-ln(x+3))(x+3)(x-4)^2-(x-4) [(x-4)-(x+3)ln(x+3)] [(x-4)+2(x+3)])/((x+3)^2(x-4)^4) =

f''(x) = ((x-4)(-ln(x+3))(x+3)(x-4)-[(x-4)-(x+3)ln(x+3)] [(x-4)+2(x+3)])/((x+3)^2(x-4)^4) =

f''(x) = ((-ln(x+3))(x+3)(x-4)-[(x-4)-(x+3)ln(x+3)] [(x-4)+2(x+3)])/((x+3)^2(x-4)^3) =

f''(x) = ((-ln(x+3))(x+3)(x-4)-[(x-4)-(x+3)ln(x+3)] [3x+2])/((x+3)^2(x-4)^3) =

A questo punto sono solo conti

Dovresti ottenere:

(8+10x-3x^2+18 ln(x+3)+12xln(x+3)+2x^2ln(x+3))/((x-4)^3 (x+3)^2)

Risposta di Ifrit

Mi spiace, la derivata seconda è uscita fuori dai margini a causa della lunghezza della formula... Tra l'altro non posso nemmeno correggere...  EmbarassedEmbarassed

Risposta di Ifrit

Domande della categoria Università - Analisi
Esercizi simili e domande correlate