Integrale improprio con il criterio del confronto
Ciao, la mia domanda riguarda un integrale improprio che il libro studia applicando il criterio del confronto:
Il libro ragiona sul numeratore dicendo che 
e mi dice che applicando due volte il criterio del confronto questo numeratore ha lo stesso carattere di 
.
Ma com'è possibile? Cioè: il log2 è minore di 1 e quindi posso dire che se ho al numeratore 1 tutto l'integrale converge e quindi converge anche quello minore, ma se avessi log4? Non potrei più utilizzare il criterio del confronto!
Spero di essere stata chiara nell'esporre il mio dubbio, grazie!
Ciao Giuliaice, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Essendo l'integrale impropio
ciò che vuole dire il libro è che, qualunque sia il valore del 
in un intorno di 
, il numeratore è una quantità limitata; in particolare, limitata tra i valori 
e 
. Questo perché il seno è sempre e comunque una quantità limitata tra 
e 
.
Quindi non ci sono problemi di sorta, e si può passare alle considerazioni sul carattere asintotico del denominatore.
Namasté!
Risposta di Omega
questo l'avevo capito, ma come posso applicare il criterio del confronto al numeratore se log(3+sinx) un po' è maggiore de 1 ed un po' è minore di 1??
se io mi accorgo che quell'integrale con al numeratore 1 è convergente, posso dire che per tutti i valori maggiori di 1 (al numeratore) l'integrale converge, ma per quelli minori non lo posso dire!!
Il libro invece risolve dicendo che applica due volte il teorema del confronto e risolvendo solo il caso con al numeraore 1, mi dice che l'integrale converge!
Non capisco questa cosa!!
grazie!
Risposta di giuliaice
Puoi sempre applicare il criterio di convergenza assoluta: 
in alternativa, ti basta osservare che
ed essendo il nostro integrale
compreso tra due integrali convergenti, è convergente.
Namasté!
Risposta di Omega
questo lo dici perchè i due logaritmi al numeratore sono costanti e quindi ininfluenti?
Risposta di giuliaice
Riguardo alla convergenza? Certamente, basta ricordare che l'integrale è un operatore omogeneo:
Namasté!
Risposta di Omega